Série d'exercices sur la logique mathématique - 1 BAC SM - Modes de raisonnements

Bienvenue dans mon article dédié à la logique mathématique ! Si vous êtes passionné par les défis intellectuels et la résolution de problèmes, vous êtes au bon endroit. Dans cet article, je vous propose une série d'exercices captivants qui vous plongeront dans le monde fascinant de la logique formelle. Que vous soyez un étudiant curieux, un amateur de mathématiques ou simplement un esprit logique avide de stimulation, ces exercices vous aideront à affûter vos compétences en raisonnement déductif, à maîtriser les lois logiques fondamentales et à explorer les subtilités de l'argumentation valide. Préparez-vous à embarquer pour un voyage captivant au cœur de la logique mathématique !

Série d'exercices sur la logique mathématique

• Les Lois logiques

• Ecriture avec quantificateurs

• Négation d'une proposition mathématique

• Raisonnement par le contre-exemple

• Raisonnement par contraposée

• Principe de récurrence

• Raisonnement par l'absurde

• Raisonnement par disjonction des cas

• Raisonnement déductif

• Raisonnement par équivalences successives

Exercice: Les Lois logiques

Les lois logiques jouent un rôle crucial en logique formelle et en mathématiques, où elles permettent d'effectuer des déductions et des raisonnements rigoureux. Elles servent de fondements pour la manipulation symbolique des expressions logiques et sont essentielles pour vérifier la validité des arguments et des démonstrations.

1. Loi de double négation : $\overline{(\overline{p})} \Longrightarrow p$
2. Loi de tiers exclu : $p \lor \overline{p} \Longrightarrow \text{Vrai}$
3. Loi de De Morgan : $\overline{(p \land q) } \Longrightarrow \overline{p} \lor \overline{q} $ ; $\overline{(p \lor q) } \Longrightarrow \overline{p} \land \overline{q}$
4. Lois de contraposition : $p \Longrightarrow q \Longrightarrow \overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$
5. Loi de transitivité : Si $p \Longrightarrow q$ et $q \Longrightarrow r$ sont vraies, alors $p \Longrightarrow r$ est vraie.

Exercice: Ecriture avec quantificateurs

Ecrire les propositions suivantes en langage mathématique( c'est à dire avec utilisations de symboles et quantificateurs logiques $\forall$ et $\exists$ )

1. Pour tout entier naturel $n$, si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair.
2. Il existe un nombre réel $x$ tel que $x^2 = 4$.
3. Pour tout réel $x$, si $x > 0$, alors $1/x > 0$.
4. Il existe un entier naturel $n$ tel que $n$ soit divisible par $3$ et par $5$.
5. Pour tout nombre réel $x$, si $x$ est rationnel, alors $-x$ est aussi rationnel.
6. Il existe un entier naturel $n$ tel que $n^2$ soit supérieur à $100$.
7. Il existe un nombre réel $x$ tel que $x^3 - 3x^2 + 2x = 0$.
8. Pour tout entier naturel $n$, $n^2 + 3n + 2$ est un nombre pair.
9. Il existe un nombre entier $n$ tel que $n$ soit un carré parfait et $n$ soit inférieur à $100$.

Exercice: Négation d'une proposition mathématique

Soit $P$ une proposition. La négation de $P$ est la proposition notée $(non P)$ qui est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie. Voici quelques questions pour pratiquer la négation logique.

Ecrire la négation de chacune des propositions logiques suivantes :

1. $(P_1): $ $ \forall x \in \mathbb{R} \; \exists a \in \mathbb{R} / x^2+ 2a = 0 $
2. $(P_2): $ $ \forall x \in \mathbb{R} \; ( \forall \epsilon > 0 \; \vert x \vert \lt \epsilon \Longrightarrow x = 0 ) $
3. $(P_3): $ $ \exists x \in \mathbb{R} \; \forall y \in \mathbb{R} \; / \; x^2+y^2=1 $
4. $(P_4): $ $\forall n \in \mathbb{N}$ $n^2+1$ est premier ou $ 3n^3+5 $ est impair
5. $(P_5): $ $\forall a \in \mathbb{R},\;\forall b \in \mathbb{R} \; [ ( \forall x \in \mathbb{R}) \; a \lt x \Longrightarrow b \lt x ] \Longrightarrow (b \lt a ) $

Exercice: Raisonnement par le contre-exemple

1. Montrer que la proposition suivante est fausse : $(\forall x \in \mathbb{R}): x^2 \geq x $.
2. Montrer que la proposition suivante est fausse : $\forall n \in \mathbb{N}): n^2$ est pair.
3. Montrer que la proposition suivante est fausse : $\left(\forall n \in \mathbb{N}^*\right): n^2+n+1$ est un entier premier.

Exercice: Raisonnement par contraposée

Le but de cet exercice est de donner des situations où le principe de Raisonnement par contraposée s'applique. en fait ce mode de Raisonnement est utilisé pour prouver des implications difficiles par l'intermédiaire d'autres implications un peu faciles. essayer de faire ces questions attentivement. Mais il ne faut pas confondre la réciproque et la contraposée.

1. Soit $ n \in \mathbb{N} $, en utilisant la contraposée montrer que $ n^2 $ est pair $ \Longrightarrow n $ est pair .
2. Soit $ x \in \mathbb{R}$, montrer que $ x \neq - 8 \Longrightarrow \frac{x+2}{x+5} \neq 2 $
3. Soit $ x , y \in \mathbb{R}$, prouver que $x \neq y \Longrightarrow (x+1)(y-1) \neq (x-1)(y+1) $
4. Soit $a$ un réel, prouver que Si $a^2$ n'est pas un multiple entier de $16$, alors $\frac{a}{2}$ n'est pas un entier pair.
5. Soit $ x , y \in ]1;+\infty [,$ montrer que $ x \neq y \Longrightarrow x^2-2x \neq y^2 -2y $
6. Soit $ x , y \in \mathbb{R}$, prouver que $ ( x \neq \frac{1}{\sqrt{2}} \; \text{et} \; y \neq \frac{1}{\sqrt{2}} ) \Longrightarrow ( xy\sqrt{2}-x-y + \sqrt{2} \neq \frac{1}{\sqrt{2}} ) $

Exercice: Principe de récurrence

Dans cet exercice on vous propose des questions classiques sur l'utilisation du principe de récurrence, en faisant ces questions vous seriez capable de résoudre n'importe qu'il problème basé sur le raisonnement par récurrence.

1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} ; 3^n \geq 1+2 n$.
2. Montrer par récurrence que :pour tout entier $ n \geq 5 $ ona $$ 2^n \geq 6 n $$
3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$ 1+2+3+\ldots+n=\frac{n \times(n+1)}{2} $$
4. Prouver que pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ on a $$ \sum_{k=1}^n k^2=1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n \times(n+1) \times(2 n+1)}{6} $$
5. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on a : $$ \sum_{k=1}^n k^3=1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\frac{n^2 \times(n+1)^2}{4} $$
6. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*:$ $$ \sum_{k=0}^{k=n}(2 k+1)=1+3+5+\ldots+(2 n+1)=(n+1)^2 . $$
7. Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N} ; n^3+2 n$ est divisible par $3$
8. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*:$ on a $23$ divise $5^{2n+1} + 2^{n+2} + 2^{n+1} $
9. Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N} ; 4^n+6 n-1$ est divisible par $9$
10. Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N}$ ; le nombre $7^n-1$ est divisible par $6$
11. Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. Montrer par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N} $ on a $ (\frac{a+b}{2})^n \leq \frac{a^n + b^n}{2} $
12. Démontrer par récurrence que pour tout entier $ n \ge 1$ , on a : $$ \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} = 1 – \dfrac{1}{n+1} $$
13. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $ 3^{2n}-1 $ est un multiple de $8$

Exercice: Raisonnement par l'absurde

Le raisonnement par absurde est l'un des types de raisonnement les plus fort. Partant de la négation d'une proposition, on construit un raisonnement logique qui aboutit à la contradiction, on conclut finalement que la proposition en question est vraie. l'exemple le plus connu de ce raisonnement et l'irrationalité de racine de $2$. $\\$ En utilisant l'absurde Montrer que :

1. $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} $
2. $\frac{1}{3} \notin \mathbb{D} $
3. $\forall n \in \mathbb{N}, \; \frac{n+1}{n+2} \notin \mathbb{N} $
4. $\forall n \in \mathbb{N}, \; \sqrt{n^2 + 7n +12 } \notin \mathbb{N} $
5. Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R}): \frac{x^2+1}{x^2-1} \neq 1$.
6. Montrer que $\left(\forall x \in \mathbb{R}^*\right): \sqrt{x^2+1} \neq x+1$.
7. Montrer que $\left(\forall x \in \mathbb{R}^{+}\right): \sqrt{x} \neq \frac{x+2}{\sqrt{x+4}}$.
8. Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

Exercice: Raisonnement par disjonction des cas

Lorsque la démonstration d'une propriété dépend de la valeur de x, il est parfois utile de faire une disjonction de cas : on sépare le raisonnement suivant toutes les valeurs que peut prendre x. On peut, par exemple, séparer les cas où un entier est pair ou impair, ou encore séparer les cas où un réel est positif ou est strictement négatif.

Voici quelques questions à propos de ce mode de raisonnement :

1. Montrer que, pour tout entier relatif $n$, $ \frac{n(n+1)}{2} $ est un entier.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel $ n $, le nombre $ n(n^2+5) $ est divisible par $3$ .
3. Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'équation suivante $ \vert x \vert + \vert x+1\vert + \vert x-1 \vert = 0 $
4. Démontrer que, pour tout $ x\in\mathbb{R}$, $ |x-1|\leq x^2-x+1 $

Raisonnement par disjonction des cas

Voici un autre exercice sur ce mode de raisonnement (" disjonction des cas ")

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes : $$ \begin{gathered} \sqrt{x-2} \geq x-5 \quad ; \quad|x-1|+2 x-3 \geq 0 \\ \sqrt{x^2-5 x+6} \leq 2 x-3 \end{gathered} $$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : $(a)\; 3-2|x-4|=2 x+5 $ ; puis $ (b) \;|x-2|+|x-3|=x+2 $ ; et $(c) \; |x-1|+|x+1|=|x| $
3. Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R}):|x-1| \leq x^2-x+1$
4. Soit $n, p \in \mathbb{N}$, montrer que $n \times p$ est pair ou $n^2-p^2$ est un multiple de $8$ .
5. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}) ; n\left(n^2+5\right)$ est multiple de $3$ .

Exercice: Raisonnement déductif

Le raisonnement déductif est l'un des principaux types de raisonnement logique utilisé dans la résolution de problèmes. Il est basé sur le principe de déduction, qui consiste à tirer des conclusions spécifiques. Le raisonnement déductif suit une structure formelle, où les conclusions sont inévitables si les prémisses sont vraies. Dans ces questions vous allez voir comment fonctionne généralement le raisonnement déductif :

1. Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R}):|x-2| \leq 1 \Rightarrow 0 \lt \frac{2 x+3}{x+2} \lt \frac{9}{5}$
2. Montrer que $(\forall a, b \in \mathbb{R}): a^2+b^2=1 \Rightarrow|a+b| \leq \sqrt{2}$
3. Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $:|x| \leq \frac{1}{2}$ et $|y| \leq 1$ Montrer que $\left|4 x^2 y-y-x\right| \leq \frac{17}{16}$
4. Montrer que $ \left(\forall(a, b) \in \mathbb{R}^2\right): a^2+b^2=0 \Rightarrow a=0$ et $b=0$
5. Soit $x \in \mathbb{R}^{+}$et $y \in \mathbb{R}^{+}$, montrer que : $$ x+y+2=2 \sqrt{x}+2 \sqrt{y} \Rightarrow x=y=1 $$
6. Montrer que $\left(\forall x \in \mathbb{R}^{n+}\right) x+\frac{1}{x} \geq 2$
7. Soient $x$ et $p$ deux réels strictement positifs. montrer que $x^5-x^3+x=p \Rightarrow x^6 \geq 2 p-1$
8. Soit $x \in \mathbb{R}, m q$ : $|x-1| \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{5} \leq \frac{1}{x+1} \leq \frac{2}{3}$
9. Soit $x \in \mathbb{R}, m q(x \neq \sqrt{5}$ et $x \neq-\sqrt{5}) \Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{4+x^2}} \neq 1$

Exercice: Raisonnement par équivalences successives

Le principe fondamental du raisonnement par équivalences successives est de démontrer l'équivalence entre deux énoncés en utilisant une série de transformations logiques valides. Le raisonnement repose sur l'idée que si deux énoncés sont équivalents, alors ils partagent la même valeur de vérité, c'est-à-dire qu'ils sont tous les deux vrais ou tous les deux faux.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels. Montrer que $a^2+b^2 \geq 2 a b$.
2. Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}^*: x^2+\frac{1}{x^2} \geq 2$.

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