La fonction arctan séries d'exercices - 2 bac sm ( continuité, limites, étude )

belehsen said
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La fonction arctang limites contiuinté étude 2 bac sm

Exercice 1 [pour bien maitriser le cours - partie 1]

  1. Justifier l'existence de la fonction arctan en précisant son domaine de définition.
  2. Justifier la continuité et donner le sens des variations de la fonction arctan.
  3. Montrer que la fonction arctan est impaire.
  4. Présenter un tableau de valeurs de la fonction arctan.
  5. Calculer avec justification les limites usuelles de la fonction arctan.
  6. Construire la courbe de la fonction arctan dans un repère orthonormé .

Exercice 2 [pour bien maitriser le cours - partie 2]

  1. Rappeler le théorème de la dérivabilité de la composée de deux fonctions dérivables.
  2. En déduire la dérivabilité de la réciproque d'une fonction dérivable et strictement monotone sur un intervalle.
  3. Montrer que arctan est dérivable sur R et que xRarctang(x)=11+x2.
  4. En déduire la dérivabilité de arctangu avec u est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Exercice 3

Résoudre dans l'ensemble R les équations suivantes:

  1. (E1):arctan(3x)=π/8
  2. (E2):arctan(x2x)=3π/4
  3. (E3):arctan(x)=π/4
  4. (E4):arctan(x)+arctan(2x)=π/3
  5. (E5):arctan(x)=arctan1/2+arctan1/3
  6. (E6):arctan(x)+arctan(2x)=π/4
  7. (E7):arctan(x)+arctan(x1)=π/2.

Exercice 4

Établir les égalités suivantes:

  1. arctan1/2+arctan1/3=π/4
  2. arctan1/2+arctan1/5+arctan1/8=π/4
  3. 4arctan1/5arctan1/239=π/4

Exercice 5

Soit pN.

  1. Vérifier que arctan(p+1)arctanp=arctan(1p2+p+1).
  2. Déterminer la limite de Sn=p=0narctan(1p2+p+1).

Exercice 6

soit a>0 et b>0. Montrer que arctanaarctanb=arctan(ab1+ab).

Exercice 7

  1. Calculer les deux nombres suivants: A=arctan2+arctan5+arctan8,B=arctan2+arctan3
  2. Montrer que arctan(43)=2arctan(12)

Exercice 8

Calculer les limites suivantes :

  1. limx1+arctan(11x2)+π2x1
  2. limx0+arctan(x)arctan(x2)
  3. limx12arctan(11x)πx1
  4. limx0+(1x23)(Arctan(1x)π2)
  5. limx0+Arctan(1x23)π4x
  6. limx(x2+2x(x+1))Arctan(x2+2x+x+1)

Exercice 9

Soit la fonction f définie sur R par f(x)=xarctan(1+1+x2x);x0 et f(0)=0

  1. Étudier la continuité de f en 0.
  2. Étudier la parité de f.
  3. Montrer que xR+:f(x)=π2xx2arctanx ( on pourra poser x=tan(α) avec α]π2,π2[).
  4. En déduire une expression simple de f sur R
  5. On considère dans R+ l'équation E:arctan(x2+x+xx)=5π12 Montrer que Ef(x)=5π12x
  6. En déduire les solutions de l'équation E

Exercice 10

Soit f la fonction définie sur ];π2[ par : {f(x)=1x3+x1 si x<0f(x)=Arctan(x3+tanx) si x[0;π2[

  1. Montrer que la fonction f est continue en 0 .
  2. Calculer les limites suivantes : limx0+f(x)x;limx0f(x)x;limxf(x);limxf(x)x
  3. Soit g la restriction de f à l'intervalle I=[0;π2[ Montrer que g est strictement croissante sur I.
  4. Montrer que g est une bijection de I sur I.
  5. On note g1 la fonction réciproque de g. Résoudre dans I l'équation g1(x)=x.
  6. Montrer que (xI)g1(x)x.

Exercice 11

On considère la fonction h définie par h(x)=Arctan(x24x+2x22).

  1. Déterminer Dh le domaine de définition de h.
  2. Calculer les limites de h aux bornes du Dh.
  3. Montrer que h réalise une bijection de K=]2;+[ à valeurs dans un intervalle L à déterminer.
  4. On considère la fonction f définie sur l'intervalle I=]21;+[parf(x)=h(x+1). Montrer que f réalise une bijection de I sur un intervalle J à déterminer puis déterminer f1(x) pour tout xJ.

Exercice 12 [baccalauréat 1996]

On considère la fonction numérique définit sur R par : {g(x)=12+arctan(x21x2+1) si x<1g(x)=x2+x21x si x1. et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé .

  1. Montrer que g est continue sur R.
  2. Étudier la dérivabilité de g à droite et à gauche de 1.
  3. Construire le tableau des variations de g.
  4. Étudier les branches infinis de (Cf) et déterminer sa position relativement à son asymptote inclinée.
  5. Construire (Cf) .
  6. Soit h la restriction de g à l'intervalle I=];0[. Montrer que h réalise une bijection de I sur un intervalle J à déterminer.
  7. Trouver h1(x) pour tout xJ.

Exercice 13

  1. Soit la fonction f:[1,+[R, définie par f(x)=1x2+2x+2. Montrer que f réalise une bijection entre [1,+[ et son image, que l'on déterminera. Expliciter la bijection réciproque.
  2. Trouver le plus grand intervalle ouvert I de R contenant 0 sur lequel la fonction g(x)=tan(x3) soit injective, et réalise donc une bijection entre I et g(I). Expliciter l'ensemble g(I) et la fonction réciproque g1.
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