Exercice 1 [pour bien maitriser le cours - partie 1]
- Justifier l'existence de la fonction
en précisant son domaine de définition. - Justifier la continuité et donner le sens des variations de la fonction
. - Montrer que la fonction
est impaire. - Présenter un tableau de valeurs de la fonction
. - Calculer avec justification les limites usuelles de la fonction
. - Construire la courbe de la fonction
dans un repère orthonormé .
Exercice 2 [pour bien maitriser le cours - partie 2]
- Rappeler le théorème de la dérivabilité de la composée de deux fonctions dérivables.
- En déduire la dérivabilité de la réciproque d'une fonction dérivable et strictement monotone sur un intervalle.
- Montrer que
est dérivable sur et que . - En déduire la dérivabilité de
avec est une fonction dérivable sur un intervalle .
Exercice 3
Résoudre dans l'ensemble
-
-
-
-
-
-
-
.
Exercice 4
Établir les égalités suivantes:
Exercice 5
Soit
- Vérifier que
. - Déterminer la limite de
.
Exercice 6
soit
Exercice 7
- Calculer les deux nombres suivants:
- Montrer que
Exercice 8
Calculer les limites suivantes :
Exercice 9
Soit la fonction
- Étudier la continuité de
en . - Étudier la parité de
. - Montrer que
( on pourra poser avec ). - En déduire une expression simple de
sur - On considère dans
l'équation Montrer que - En déduire les solutions de l'équation
Exercice 10
Soit
- Montrer que la fonction
est continue en 0 . - Calculer les limites suivantes :
- Soit
la restriction de à l'intervalle Montrer que est strictement croissante sur . - Montrer que
est une bijection de sur . - On note
la fonction réciproque de . Résoudre dans l'équation . - Montrer que
.
Exercice 11
On considère la fonction
- Déterminer
le domaine de définition de . - Calculer les limites de
aux bornes du . - Montrer que
réalise une bijection de à valeurs dans un intervalle à déterminer. - On considère la fonction
définie sur l'intervalle . Montrer que réalise une bijection de sur un intervalle à déterminer puis déterminer pour tout .
Exercice 12 [baccalauréat 1996]
On considère la fonction numérique définit sur
- Montrer que
est continue sur . - Étudier la dérivabilité de
à droite et à gauche de . - Construire le tableau des variations de
. - Étudier les branches infinis de
et déterminer sa position relativement à son asymptote inclinée. - Construire
. - Soit
la restriction de à l'intervalle . Montrer que réalise une bijection de sur un intervalle à déterminer. - Trouver
pour tout .
Exercice 13
- Soit la fonction
, définie par Montrer que réalise une bijection entre et son image, que l'on déterminera. Expliciter la bijection réciproque. - Trouver le plus grand intervalle ouvert
de contenant sur lequel la fonction soit injective, et réalise donc une bijection entre et . Expliciter l'ensemble et la fonction réciproque .
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