La fonction $arctan$ séries d'exercices - 2 bac sm ( continuité, limites, étude )

Exercice 1 [pour bien maitriser le cours - partie 1]

1. Justifier l'existence de la fonction $arctan$ en précisant son domaine de définition.
2. Justifier la continuité et donner le sens des variations de la fonction $arctan$.
3. Montrer que la fonction $arctan$ est impaire.
4. Présenter un tableau de valeurs de la fonction $arctan$.
5. Calculer avec justification les limites usuelles de la fonction $arctan$.
6. Construire la courbe de la fonction $arctan$ dans un repère orthonormé .

Exercice 2 [pour bien maitriser le cours - partie 2]

1. Rappeler le théorème de la dérivabilité de la composée de deux fonctions dérivables.
2. En déduire la dérivabilité de la réciproque d'une fonction dérivable et strictement monotone sur un intervalle.
3. Montrer que $arctan$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}arctan{g}^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$.
4. En déduire la dérivabilité de $arctang\circ u$ avec $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Exercice 3

Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

1. $\left(E_1\right):\arctan (3x)=\pi /8$
2. $\left(E_2\right):\arctan (x^2-x)=3\pi /4$
3. $\left(E_3\right):\arctan (\sqrt{}x)=-\pi /4$
4. $\left(E_4\right):\arctan (x)+\arctan (2x)=\pi /3$
5. $\left(E_5\right):\arctan (x)=\arctan 1/2+\arctan 1/3$
6. $\left(E_6\right):\arctan (x)+\arctan (2x)=\pi /4$
7. $\left(E_7\right):\arctan (x)+\arctan (x-1)=\pi /2$.

Exercice 4

Établir les égalités suivantes:

1. $\arctan 1/2+\arctan 1/3=\pi /4$
2. $\arctan 1/2+\arctan 1/5+\arctan 1/8=\pi /4$
3. $4\arctan 1/5-\arctan 1/239=\pi /4$

Exercice 5

Soit $p\in \mathbb{N}$.

1. Vérifier que $\arctan (p+1)-\arctan p=\arctan \left(\frac{1}{p^2+p+1}\right)$.
2. Déterminer la limite de $S_n=\sum _{p=0}^n\arctan \left(\frac{1}{p^2+p+1}\right)$.

Exercice 6

soit $a>0$ et $b>0$. Montrer que $\arctan a-\arctan b=\arctan \left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$.

Exercice 7

1. Calculer les deux nombres suivants: $$A=\arctan 2+\arctan 5+\arctan 8,B=\arctan 2+\arctan 3$$
2. Montrer que $arctan\left(\frac{4}{3}\right)=2\arctan \left(\frac{1}{2}\right)$

Exercice 8

Calculer les limites suivantes :

1. $\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{\arctan \left(\frac{1}{1-x^2}\right)+\frac{\pi }{2}}{x-1}$
2. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\arctan (\sqrt{x})}{\arctan \left(x^2\right)}$
3. $\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{2\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\right)-\pi }{x-1}$
4. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}(1-\sqrt[3]{x^{-2}})(\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{\pi }{2})$
5. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\mathrm{Arctan}(1-\sqrt[3]{x^2})-\frac{\pi }{4}}{x}$
6. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+2x}-(x+1))\mathrm{Arctan}(\sqrt{x^2+2x}+x+1)$

Exercice 9

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=x\arctan \left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right);x\ne 0\text{ et }f(0)=0$$

1. Étudier la continuité de $f$ en $0$.
2. Étudier la parité de $f$.
3. Montrer que $\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{\ast +}:f(x)=\frac{\pi }{2}x-\frac{x}{2}\arctan x$ ( on pourra poser $x=\tan (\alpha )$ avec $\alpha \in ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$).
4. En déduire une expression simple de $f$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast -}$
5. On considère dans ${\mathbb{R}}^{\ast +}$ l'équation $E:\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x}}{x}\right)=\frac{5\pi }{12}$ Montrer que $E\iff f(\sqrt{x})=\frac{5\pi }{12}\sqrt{x}$
6. En déduire les solutions de l'équation $E$

Exercice 10

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\mathrm{\infty };\frac{\pi }{2}[$ par : $$\{\begin{array}{l}f(x)=\sqrt[3]{1-x}+x-1\text{ si }x<0\\ f(x)=\mathrm{Arctan}(\sqrt[3]{x}+\tan x)\text{ si }x\in [0;\frac{\pi }{2}[\end{array}$$

1. Montrer que la fonction $f$ est continue en 0 .
2. Calculer les limites suivantes : $$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)}{x};\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x)}{x};\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x);\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}$$
3. Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=[0;\frac{\pi }{2}[$ Montrer que $g$ est strictement croissante sur $I$.
4. Montrer que $g$ est une bijection de $I$ sur $I$.
5. On note $g^{-1}$ la fonction réciproque de $g$. Résoudre dans $I$ l'équation $g^{-1}(x)=x$.
6. Montrer que $(\mathrm{\forall }x\in I)g^{-1}(x)\le x$.

Exercice 11

On considère la fonction $h$ définie par $h(x)=\mathrm{Arctan}\left(\frac{x^2-4x+2}{x^2-2}\right)$.

1. Déterminer $D_h$ le domaine de définition de $h$.
2. Calculer les limites de $h$ aux bornes du $D_h$.
3. Montrer que $h$ réalise une bijection de $K=]\sqrt{2};+\mathrm{\infty }[$ à valeurs dans un intervalle $L$ à déterminer.
4. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=]\sqrt{2}-1;+\mathrm{\infty }[\mathrm{par}f(x)=h(x+1)$. Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$.

Exercice 12 [baccalauréat 1996]

On considère la fonction numérique définit sur $\mathbb{R}$ par : $$\{\begin{array}{l}g(x)=\frac{1}{2}+arctan(\frac{x^2-1}{x^2+1})\text{ si }x<1\\ g(x)=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\text{ si }x\ge 1.\end{array}$$ et $({\mathcal{C}}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé .

1. Montrer que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.
2. Étudier la dérivabilité de $g$ à droite et à gauche de $1$.
3. Construire le tableau des variations de $g$.
4. Étudier les branches infinis de $({\mathcal{C}}_f)$ et déterminer sa position relativement à son asymptote inclinée.
5. Construire $({\mathcal{C}}_f)$ .
6. Soit $h$ la restriction de $g$ à l'intervalle $I=]-\mathrm{\infty };0[$. Montrer que $h$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer.
7. Trouver $h^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$.

Exercice 13

1. Soit la fonction $f:[-1,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$, définie par $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}.$$ Montrer que $f$ réalise une bijection entre $[-1,+\mathrm{\infty }[$ et son image, que l'on déterminera. Expliciter la bijection réciproque.
2. Trouver le plus grand intervalle ouvert $I$ de $\mathbb{R}$ contenant $0$ sur lequel la fonction $$g(x)=\tan \left(x^3\right)$$ soit injective, et réalise donc une bijection entre $I$ et $g(I)$. Expliciter l'ensemble $g(I)$ et la fonction réciproque $g^{-1}$.

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