Série d'exercices - Les Polynômes - Tronc commun BIOF

Les Polynômes

Exercice 1

écrire le polynôme $P(x)$ sous sa forme réduite dans les cas suivants:

• $ P(x)=(1+x)^2 -3(x-1)^2 $
• $ P(x)=(x-2)^2+(x+2)^2 $
• $ P(x)=(x+1)(4x+2)-(2+x)^2 $

Exercice 2

Déterminer les nombres $a$, $b$ et $c$ pour que les deux polynômes $P(x)$ et $Q(x)$ soient égaux:

• $P(x)=3x^2+(b-1)x $ et $Q(x)=(a+1)x^2+2x+c$.
• $ P(x)=(ax+b)(x^2+3x-\sqrt{5})$ et $Q(x)=x^3+2x^2-(3+\sqrt{5})+\sqrt{5}$

Exercice 3

étudier si le polynôme $P(x)$ est divisible par $(x-a)$ dans les cas suivants :

• $P(x)=x^3-1$ et $ a=1$
• $P(x)=x^3+4x+16$ et $a=-2$
• $P(x)=x^3+5x^2-4x-20$ et $a=3$

Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $P(x)$ sur $(x-a)$.

Exercice 4

Soit $ f(x)=x^3+ax^2+bx+2$. déterminer $a$ et $b$ pour que $1$ et $2$ soient deux racines pour $f(x)$.

Exercice 5

Soit $Q(x)=x^4-3x^3-5x^2+13x+16$.

1. calculer $Q(-2)$ et $Q(3)$.
2. en déduire la factorisation de $Q(x)$

Exercice 6

Soit $P(x$ un polynôme tel que $$ P(x)=(x-2)^{3n}+(x-1)^{2n}-1 \: / n \in \mathbb{N}^*$$

1. montrer qu'il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $ P(x)=(x-2)Q(x)$
2. déterminer le degré de $Q(x)$
3. évaluer $P(1)$ en fonction de $n$ puis déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $P(x)$ est divisible par $(x-1)$

Exercice 7

On considère le polynôme $P(x)=2x^3-5x^2-x+6 $.

1. Montrer que $-1$ est une racine de $P(x)$ .
2. Trouver les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tel que $P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)$.
3. Montrer que $Q(x)=2x^2-7x+6$ est divisible par $-2$.
4. En déduire une factorisation de $P(x)$ .
5. Résoudre dans l'équation $P(x)=0$ .

Exercice 8

effectuer la division euclidienne de $P(x)$ sur $Q(x)$ dans les cas suivants :

1. $ P(x)= 3x^3-2x^2+x+1$ et $Q(x) = x^2+1 $
2. $ P(x)= x^4+x^3+x^2+x-1 $ et $Q(x) = x^3+x+1 $
3. $ P(x)= x^5+x^3+x $ et $Q(x) =x^2+x-1 $