Série d'exercices - Les Polynômes - Tronc commun BIOF

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Série d'exercices| Les Polynômes
Les Polynômes


Exercice 1
écrire le polynôme P(x) sous sa forme réduite dans les cas suivants:
  • P(x)=(1+x)23(x1)2
  • P(x)=(x2)2+(x+2)2
  • P(x)=(x+1)(4x+2)(2+x)2

Exercice 2
Déterminer les nombres a, b et c pour que les deux polynômes P(x) et Q(x) soient égaux:
  • P(x)=3x2+(b1)x et Q(x)=(a+1)x2+2x+c.
  • P(x)=(ax+b)(x2+3x5) et Q(x)=x3+2x2(3+5)+5

Exercice 3
étudier si le polynôme P(x) est divisible par (xa) dans les cas suivants :
  • P(x)=x31 et a=1
  • P(x)=x3+4x+16 et a=2
  • P(x)=x3+5x24x20 et a=3
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de P(x) sur (xa).



Exercice 4
Soit f(x)=x3+ax2+bx+2. déterminer a et b pour que 1 et 2 soient deux racines pour f(x).

Exercice 5
Soit Q(x)=x43x35x2+13x+16.
  1. calculer Q(2) et Q(3).
  2. en déduire la factorisation de Q(x)

Exercice 6
Soit P(x un polynôme tel que P(x)=(x2)3n+(x1)2n1/nN
  1. montrer qu'il existe un polynôme Q(x) tel que P(x)=(x2)Q(x)
  2. déterminer le degré de Q(x)
  3. évaluer P(1) en fonction de n puis déterminer les valeurs de n pour lesquelles P(x) est divisible par (x1)

Exercice 7
On considère le polynôme P(x)=2x35x2x+6.
  1. Montrer que 1 est une racine de P(x) .
  2. Trouver les nombres réels a, b et c tel que P(x)=(x+1)(ax2+bx+c).
  3. Montrer que Q(x)=2x27x+6 est divisible par 2.
  4. En déduire une factorisation de P(x) .
  5. Résoudre dans l'équation P(x)=0 .

Exercice 8
effectuer la division euclidienne de P(x) sur Q(x) dans les cas suivants :
  1. P(x)=3x32x2+x+1 et Q(x)=x2+1
  2. P(x)=x4+x3+x2+x1 et Q(x)=x3+x+1
  3. P(x)=x5+x3+x et Q(x)=x2+x1

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