Ensemble $\mathbb{N}$ et introduction à L'arithmétique

introduction à L'arithmétique

La divisibilité dans $\mathbb{N}$

les nombres entiers naturels $0;1;2;3;4;5;6; \cdots $ forment un ensemble dit "ensemble des nombres entiers naturels " et est noté $\mathbb{N}$. $\\$ l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls $1;2;3;4;5;6; \cdots $ est noté $\mathbb{N}^*$. $\\$ on peut donc écrire $$ \mathbb{N}=\lbrace 0;1;2;3 \cdots \rbrace $$ et $$ \mathbb{N}^*=\lbrace 1;2;3 \cdots \rbrace $$

Diviseurs d'un nombre - multiples d'un nombre

définition

soient $a$ et $b$ deux éléments de $\mathbb{N}$, s'il existe un nombre entier naturel $n$ tel que $b=n.a$, on dit que :

• $a$ est un diviseur de $b$ ou que $b$ est divisible par $a$
• $b$ est un multiple de $a$ ou que $a$ est un diviseur de $b$

par exemple on a $200=20 \times 10$ , donc :

• $10$ est un diviseur de $200$
• $200$ est divisible par $10$
• $200$ est un multiple de $10$
• $10$ est un diviseur de $200$

les nombres $10 ; 20 ; 35 ; 40 ; 45 $ sont tous des multiples de $5$. $\\$ les nombres $10 ; 20 ; 5 ; 50 ; 2 $ sont tous des diviseurs de $100$. $\\$ le nombre $1$ est un diviseur de tous les nombres entiers naturels. $\\$ le nombre $0$ est un multiple de tous les nombres entiers naturels.

exemple

1. déterminer tous les multiples de $11$ qui sont entre $7$ et $107$.
2. déterminer tous les diviseurs de $126$ qui inférieur à $60$.
3. déterminer tous les diviseurs de $60$ qui supérieur à $25$.

Les nombres paires et les nombres impaires

définition

soit $a$ un nombre entier naturel. on dit que :

• $a$ est paire s'il est divisible par $2$.
• $a$ est impaire s'il n'est pas divisible par $2$.

les nombres $0;2;4;6;8;10;12;20;200;222;242;888$ sont des nombres paires. $\\$ les nombres $1;3;5;7;9;11;113;333;571;1111;33333$ sont des nombres impaires.

proposition

soit $a \in \mathbb{N}$ alors :

• $a$ est paire si et seulement si $a=2.k$ avec $k \in \mathbb{N}$.
• $a$ est impaire si et seulement si $a=2.k+1$ avec $k \in \mathbb{N}$.

on considère $n$ et $m$ deux inconnues dans $\mathbb{N}$. soient $x$ et $y$ deux entiers naturels tels que : $$ x=2n+11 \: , \: y=2n+6m+2 $$ on a $x=2n+11=2n+10+1=2(n+5)+1=2k+1$ avec $k=n+5 \in \mathbb{N}$ on déduit que $x$ est impaire. $\\$ on a $y=2n+6m+2=2(n+3m+1)=2k$ avec $k=n+3m+1 \in \mathbb{N}$ on déduit que $x$ est paire.

Critères de divisibilité par les nombres $2 , 3 , 4 , 5 ,9 $

proposition

soit $n$ un nombre entier naturel. le nombre $n$ est divisible par :

• $2$ si sont chiffre d'unité est $0$, $4$, $6$ ou $8$.
• $3$ si la somme des ses chiffres est un multiple de $3$
• [5$ si si sont chiffre d'unité est $0$ ou $5$.
• $9$ si la somme des ses chiffres est un multiple de $9$

le nombre $1215$ est un multiple de $5$. $\\$ le nombre $333$ est un multiple de $3$ et de $9$.$\\$ le nombre $2316$ est un multiple de $4$.$\\$ le nombre $21116$ est un multiple de $2$.

Les nombres premiers

définition

soit $n$ un entier naturel. on dit que $n$ est un nombre premier s'il admet seulement deux diviseur qui sont $1$ et $n$ lui même.

par exemple les nombres $1$, $2$, $3$ , $5$ , $11$ sont des nombres premiers tandis que $10$,$4$,$55$,$35$,$100$ ne sont pas des nombres premiers.

exercice

1. présenter tous les nombres premiers inférieur à $100$.
2. $371$ est-il un nombre premier ?

La décomposition en facteurs premiers

remarquons les décompositions suivantes: $$12=2\times \times 2 \times 3$$ $$ 18= 2\times 3 \times 3$$ $$330= 2\times 3 \times 5 \times 11$$

théorème

soit $n$ un entier naturel non nul est différent de $1$ alors $n$ se décompose d'une manière unique en produit de facteurs premiers.

le PGCD et le PPCM

définition

soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. le plus grand des diviseurs communs entre $a$ et $b$ est dit le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$ et se note $PGCD(a;b)$.

on a $PGCD(12,9)=3$ et $PGCD(16;20)=4$ et $PGCD(100,40)=20$ et $PGCD(15,25)=5$ et $PGCD(400,100)=100$ et$PGCD(11,10)=1$ et $PGCD(7,20)=1$ $\\$ dans le cas où $PGCD(a;b)=1$ on dit que $a$ et $b$ sont premier entre eux.

définition

soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. le plus petit des multiples communs entre $a$ et $b$ est dit le plus petit commun multiple de $a$ et $b$ et se note $PPCM(a;b)$.

on a $PGCD(12,9)=36$ et $PGCD(5;4)=20$ et $PGCD(100,40)=100$ et $PGCD(15,25)=50$ et $PGCD(7,3)=21$ et$PGCD(6,4)=12$ et $PGCD(2,3)=6$ $\\$