Série d'exercices - L'ordre dans $\mathbb{R}$ - Tronc commun BIOF

ordre dans $\mathbb{R}$

Exercice 1

Comparer les nombres $a$ et $b$ dans les cas suivants:

1. $a=3\sqrt{3}$ et $b=2\sqrt{7}$.
2. $a=4\sqrt{5}-3\sqrt{2}$ et $b=5\sqrt{2}-4\sqrt{3}$.
3. $a=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ et $b=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.

Exercice 2

Comparer les nombres $a$ et $b$ dans les cas suivants:

1. $a=9-6x$ et $b=(x-3{)}^2$.
2. $a=\frac{1}{1+x^2}$ et $b=1-x^2$.

où $x$ est dans $\mathbb{R}$.

Exercice 3

Encadrer $Y$ dans les cas suivants:

1. $Y=x^2-2x+5$ avec $-1\le x\le 1$
2. $Y=x^2+x-\sqrt{x^2+1}$ avec $-1<x<2$
3. $Y=x^3+x^5+1$ avec $-1<x<3$
4. $Y=-x^3+x^2-\frac{1}{2}x+1$ avec $-4<x<4$

Exercice 4

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a>b>0$, ordonner les nombres : $$\frac{a}{b};\frac{a}{b+1};\frac{a+1}{b+1}$$

Exercice 5

Comparer $A$ et $B$ avec $$A=(a+b{)}^2;B=b^2+3a^2$$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que $0<a<b$.

Exercice 6

évaluer les expressions suivantes:

• $|3-5|+|5-3|+|(-3)(-2)|$
• $|-2-1|+|2-6|-|5-1|-|-1-3|$
• $|-7\times 8|-|7\times 8|+|(-1{)}^2|-|-1{|}^2$

Exercice 7

Soit $-3\le x\le 4$ et $-5\le y\le 2$, encadrer: $$x^2+y^2+4x-2y$$

Exercice 8

écrire les expressions suivantes sans valeur absolue.

• $A=|x^2+1|-|x+3|$
• $B=|x-1|+|x-2|$

Exercice 9

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

• $|x+1|=2x-5$
• $|x-1|=|x+1|$
• $|-x-4|=-4$

Exercice 10

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels non nuls tes que :$x+y\ge 0$. Montrer que $$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$

Exercice 11

Soient $x$ et $y$ dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, montrer que : $$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}$$

Exercice 12

1. Soit $x\in \mathbb{R}$, montrer que $x^2-2x=(x-1{)}^2-1$.
2. dorénavant $x\in [1,3]$, montrer que $-1\le x^2-2x\le 3$.
3. montrer que $\frac{1}{2}\le \frac{3}{x^2-2x+3}\le \frac{3}{2}$.
4. en déduire que : $|\frac{3}{x^2-2x+3}-1|\le \frac{1}{2}$.

Exercice 13

Soit $x\in \mathbb{R}$ tel que $|x-2|<\frac{3}{2}$ .

1. donner un encadrement de $x$.
2. monter que $|2x-3|<7$.
3. vérifier que $2x^2-7x+6=(x-2)(2x-3)$.
4. en déduire que $|2x^2-7x+6|<\frac{21}{2}$.
5. montrer que $|\frac{x-2}{2x+3}|<\frac{3}{8}$.