Limites et continuité de fonctions numériques - Exercices - 2 Bac Sm

Voici une série d'exercices sur les limites et la continuité de fonction numériques d'une variables réelle. cette série est destinée aux élèves de la deuxième année sciences mathématiques ( 2 BAC SM). je vous conseil de bien réfléchir et de bien rédiger vos productions.

limites et continuité - 2 bac sm  - exercices 

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=E(x)+(x-E(x){)}^2$

1. Etudier la continuité de $f$ en $x_0=2$
2. Etudier la continuité de $f$ en $x_1=\sqrt{2}$
3. Etudier la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}$

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{\sqrt{2x}-\sqrt{1+x^2}}{x-\sqrt{x}}$

1. Déterminer $D_f$ le domaine de définition de $f$.
2. Calculer les limites suivantes $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$
3. Démontrer que $f$ est admet un prolongement par continuité en $x_0=1$ à déterminer

Exercice 3

Soit $f$ une fonction définie de $\mathbb{R}$ de $]-\mathrm{\infty },1[$ et $g$ une fonction definie de $\mathbb{R}$ vers $]1,+\mathrm{\infty }[$, tels que $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R}$ et que $\mathrm{\exists }(x_1,x_2)\in {\mathbb{R}}^{\ast +2}$ tels que $x_1<x_2$ et $f(x_1)=x_1$ et $g(x_2)=x_2$.

Démontrer $\mathrm{\exists }{x}_3\in ]x_1,x_2[$ tel que $f(x_3)g(x_3)=x_3.$

Exercice 4

Soient $\beta$ et $\lambda$ deux elements de ${\mathbb{R}}^{\ast +}$ et $f$ une fonction definie et continue sur l’intervalle $[0,1]$ tel que $f(1)\ne f(0)$

Démontrer que $\mathrm{\exists }{x}_0\in ]0,1[:\lambda f(0)+\beta f(1)=(\lambda +\beta )f(x_0)$

Exercice 5

$f$ est une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$ et on suppose que $\mathrm{\exists }a\in \mathbb{R}/fof(a)=a$.

démontrer que $\mathrm{\exists }c\in \mathbb{R}/f(c)=c$ .

Exercice 6

Soit $f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ une fonction telle que $\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{R}$ on a $|f(x)-f(y)|\le |sin(x)-sin(y)|$

1. Montrer que la fonction $f$ est $2\pi$ périodique.
2. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 7

Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $$\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{x(1-x)}{\sin (\pi x)}\text{ si }x\in ]0,1[\\ f(0)=f(1)=\frac{1}{\pi }\end{array}$$

Etudier la continuité de $f$ sur $[0,1]$.

Exercice 8

Calculer les limites suivantes :

1. $li{m}_{x\to 4}|x^2-2x|-8/x^2-5x+4$
2. $li{m}_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-4}}{x+\sqrt{x+2}}$
3. $li{m}_{x\to -\mathrm{\infty }}\sqrt{x^4-x^3}-x^2$
4. $li{m}_{x\to +\mathrm{\infty }}x\sqrt{4x^2+3x+7}-2x^2$
5. $li{m}_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt{10x^2+9}-7}{\sqrt{2-x}+\sqrt{x^2+5}-5}$
6. $li{m}_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt{x^4+1}-\sqrt{x^4-1}}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}$
7. $li{m}_{x\to +\mathrm{\infty }}\sqrt{x^3+a{x}^2+x+1}-x\sqrt{x+1}$ tel que $a\in \mathbb{R}$
8. $li{m}_{x\to a^{+}}\frac{\sqrt{x^2-ax}+\sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x-a}}$ avec $a>=0$

Exercice 9

Calculer les limites suivantes:

1. $\underset{x\to 2}{lim}\frac{\sqrt[3]{x^2+4}-2}{\sqrt{x-1}-1}$
2. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}E(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$
3. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{1+\cos x}}{x^2}$
4. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}E(\sqrt{x}-\sqrt{x+1})$
5. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}-2}$
6. $\underset{x\to 1}{lim}\arctan \left(\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}\right)$
7. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x-1}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[5]{x}}$
8. $\underset{x\to -1}{lim}\frac{\arctan (2x+2)}{\sin (x+1)}$
9. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[4]{x^3}(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{x+3})$
10. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[4]{x^4-2x}-\sqrt{2x^2+1}$
11. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x\arctan \left(\frac{1}{2x+1}\right)$
12. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{x^3-2x}-\sqrt{x^2+x}$
13. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\arctan (\sqrt{x+2}-\sqrt[4]{x-\sqrt{x}})$
14. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[12]{x}\frac{\sqrt[4]{x+1}-\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}}$
15. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\arctan \left(\frac{\sqrt[3]{1-x^3}}{\sqrt{x^2-1}}\right)$

Exercice 10

Etudier la continuité sur $\mathbb{R}$ des fonctions $f,g$ et $h$ telles que : $$(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})f(x)=x[E(2x)-2E(x)];g(x)=E(x)sin(x);h(x)=E(x)sin(\pi x)$$

Exercice 11

Calculer les limites suivantes:

1. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}$
2. $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\sqrt[3]{x^2}-x}{x}$
3. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x}+1}$
4. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{\sqrt[4]{x}-1}$
5. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[3]{5-x}-1}{2-\sqrt[3]{x+4}}$
6. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{x^3+x}-x$
7. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{x^2-x}-x-1$
8. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{x^4+5}+2x$

Exercice 12

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, Calculer les limites suivantes :

1. $li{m}_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac{(1-sinx)(1-si{n}^{2}x)........(1-si{n}^{n}x)}{co{s}^{(}2n)x}$
2. $li{m}_{x\to 0}\frac{1-cosxcos(2x).....cos(nx)}{x^2}$
3. $li{m}_{x\to 0}\frac{sin(\pi \sqrt{cos(x)})}{x^2}$

Exercice 13

Calculer les limites suivantes

1. $\underset{x\to 2}{lim}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}$
2. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x^2-2}}$
3. $\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{\sqrt[4]{x^2-1}}{\sqrt{x-1}}$
4. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sqrt[3]{2x+1}-\sqrt{x+1}}{x-1}$
5. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sqrt[4]{x}-1}{x-1}$
6. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}$
7. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$
8. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x-(\sqrt[3]{x}{)}^2}{x}$