Voici une série d'exercices sur les limites et la continuité de fonction numériques d'une variables réelle. cette série est destinée aux élèves de la deuxième année sciences mathématiques ( 2 BAC SM). je vous conseil de bien réfléchir et de bien rédiger vos productions.
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limites et continuité - 2 bac sm - exercices |
Exercice 1
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=E(x)+(x-E(x))^{2}$
- Etudier la continuité de $f$ en $x_{0}=2$
- Etudier la continuité de $f$ en $x_{1}=\sqrt{2}$
- Etudier la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}$
Exercice 2
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{\sqrt{2 x}-\sqrt{1+x^{2}}}{x-\sqrt{x}}$
- Déterminer $D_{f}$ le domaine de définition de $f$.
- Calculer les limites suivantes $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ et $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$
- Démontrer que $f$ est admet un prolongement par continuité en $x_{0}=1$ à déterminer
Exercice 3
Soit $f$ une fonction définie de $\mathbb{R}$ de $]-\infty, 1[$ et $g$ une fonction definie de $\mathbb{R}$ vers $] 1,+\infty[$, tels que $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R}$ et que $\exists (x_{1}, x_{2}) \in \mathbb{R}^{*+2}$ tels que $x_{1}<x_{2}$ et $f(x_{1})=x_{1}$ et $g(x_{2})=x_{2}$.
Démontrer $\exists x_{3} \in ] x_{1}, x_{2}[ $ tel que $ f(x_{3})g(x_{3})=x_{3}.$Exercice 4
Soient $\beta $ et $ \lambda $ deux elements de $ \mathbb{R}^{*+} $ et $f$ une fonction definie et continue sur l’intervalle $[0,1]$ tel que $f(1) \neq f(0)$
Démontrer que $ \exists x_{0} \in ]0,1[: \lambda f(0) + \beta f(1) = (\lambda +\beta)f(x_{0}) $Exercice 5
$f$ est une fonction définie et continue sur $ \mathbb{R} $ et on suppose que $ \exists \; a \in \mathbb{R} \; / \; fof(a)=a $.
démontrer que $ \exists c \in \mathbb{R} \; / \; f(c)=c $ .Exercice 6
Soit $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $ une fonction telle que $ \forall x, y \in \mathbb{R} $ on a $ \vert f(x)-f(y) \vert ≤ \vert sin (x)-sin(y) \vert $
- Montrer que la fonction $f$ est $2 \pi $ périodique.
- Montrer que $f$ est continue sur $ \mathbb{R} $ .
Exercice 7
Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $$ \left\{\begin{array}{l} f(x)=\frac{x(1-x)}{\sin (\pi x)} \text { si } \left.x \in \right] 0,1[ \\ f(0)=f(1)=\frac{1}{\pi}\end{array}\right. $$
Etudier la continuité de $f$ sur $[0,1]$.Exercice 8
Calculer les limites suivantes :
- $ lim_{ x \to 4 } \; { \vert x^2-2x \vert -8 }/{x^2-5x+4} $
- $ lim_{ x \to +\infty} \; \frac{ \sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2-4} }{ x+\sqrt{x+2}} $
- $ lim_{ x \to -\infty } \; \sqrt{x^4-x^3} -x^2 $
- $ lim_{ x \to +\infty} \; x \sqrt{4x^2+3x+7} -2x^2 $
- $ lim_{ x \to -\infty } \; \frac{\sqrt{10x^2+9} -7}{\sqrt{2-x} +\sqrt{x^2+5} -5} $
- $ lim_{ x \to -\infty} \; \frac{\sqrt{x^4+1} -\sqrt{x^4-1}}{\sqrt{x^2+1} -\sqrt{x^2-1}} $
- $ lim_{ x \to +\infty} \; \sqrt{x^3+ax^2+x+1} - x \sqrt{x+1} $ tel que $a \in \mathbb{R} $
- $ lim_{ x \to a^+} \; \frac{\sqrt{x^2-ax}+\sqrt{x^2-a^2}}{ \sqrt{x-a}} $ avec $ a >= 0 $
Exercice 9
Calculer les limites suivantes:
- $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{x^2+4}-2}{\sqrt{x-1}-1}$
- $\lim _{x \rightarrow+\infty} E(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$
- $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{1+\cos x}}{x^2}$
- $\lim _{x \rightarrow+\infty} E(\sqrt{x}-\sqrt{x+1})$
- $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}-2}$
- $\lim _{x \rightarrow 1} \arctan \left(\frac{x^2-1}{x^2-3 x+2}\right)$
- $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x-1}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[5]{x}}$
- $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{\arctan (2 x+2)}{\sin (x+1)}$
- $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[4]{x^3}(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{x+3})$
- $\lim _{x \rightarrow-\infty} \sqrt[4]{x^4-2 x}-\sqrt{2 x^2+1}$
- $\lim _{x \rightarrow+\infty} x \arctan \left(\frac{1}{2 x+1}\right)$
- $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{x^3-2 x}-\sqrt{x^2+x}$
- $\lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan (\sqrt{x+2}-\sqrt[4]{x-\sqrt{x}})$
- $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[12]{x} \frac{\sqrt[4]{x+1}-\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}}$
- $\lim _{x \rightarrow-\infty} \arctan \left(\frac{\sqrt[3]{1-x^3}}{\sqrt{x^2-1}}\right)$
Exercice 10
Etudier la continuité sur $\mathbb{R}$ des fonctions $f,g$ et $h$ telles que : $$ (\forall x \in \mathbb{R}) \; f(x)= x [E(2x)-2E(x)] ;\; g(x)= E(x)sin(x) ;\; h(x)= E(x)sin(\pi x) $$
Exercice 11
Calculer les limites suivantes:
- $ \lim_{ x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+8} -2 }{ x}$
- $ \lim_{ x \to 0^-} \frac{\sqrt[3]{x^2} -x }{ x}$
- $ \lim_{ x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x} -1 }{ \sqrt[3]{x} +1 }$
- $ \lim_{ x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x+7} -2 }{ \sqrt[4]{x} -1 }$
- $ \lim_{ x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{5-x} -1 }{ 2-\sqrt[3]{x+4} }$
- $ \lim_{ x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3+x} -x $
- $ \lim_{ x \to +\infty} \sqrt[3]{x^2-x} -x -1 $
- $ \lim_{ x \to -\infty} \sqrt[3]{x^4+5} +2x $
Exercice 12
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, Calculer les limites suivantes :
- $ lim_{ x \to \frac{\pi}{2}} \frac{{(1-sinx)(1-sin^2x)........(1-sin^nx)}}{{cos^(2n)x}} $
- $ lim_{ x \to 0 } \frac{ 1-cosxcos(2x).....cos(nx)}{x^2} $
- $ lim_{ x \to 0 } \frac{sin(\pi \sqrt{cos(x)})}{x^2} $
Exercice 13
Calculer les limites suivantes
- $ \lim_{ x \to 2} \frac{\sqrt[3]{x} -2 }{x-8}$
- $ \lim_{ x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+1} }{\sqrt[3]{x^2-2}}$
- $ \lim_{ x \to 1^+} \frac{\sqrt[4]{x^2-1} }{\sqrt{x-1}}$
- $ \lim_{ x \to 1} \frac{\sqrt[3]{2x+1} -\sqrt{x+1} }{x-1}$
- $ \lim_{ x \to 1} \frac{\sqrt[4]{x} -1 }{x-1}$
- $ \lim_{ x \to 0 } \frac{\sqrt[3]{x+1} -1}{x}$
- $ \lim_{ x \to +\infty } \frac{\sqrt[3]{x+1} -\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}}$
- $ \lim_{ x \to +\infty } \frac{x -(\sqrt[3]{x})^2}{x}$
