Exercices du calcul intégrale | 2 BAC BIOF

calcul intégrale 2bac biof

7 Dans ce qui suit le plan est reporté à un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j})$ avec $\Vert \overrightarrow{i}\Vert=\Vert \overrightarrow{j}\Vert =3 cm$.

Exercice 1

Évaluer les intégrales suivantes : $$ \int_{0}^{\pi} \cos(x)+\sin(x) dx \;,\; \int_{1}^{2}\frac{1}{2\sqrt{x}} dx $$ $$ \int_{-1}^{1}\frac{x}{x^2+1} dx \; ,\; \int_{1/3}^{1}e^{3x+4} dx $$ $$ \int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} dx \; ,\; \int_{3}^{9}x^2+1 dx $$

Exercice 2

Évaluer les intégrales suivantes : $$ \int_{0}^{\pi} \cos(x).\sin(x) dx \;, \; \int_{0}^{1}\frac{e^x}{1+e^x} dx $$ $$ \int_{-1}^{1}2x\sqrt[3]{x^2+1} dx \; ,\; \int_{0}^{1}4x^3+\sqrt{x} dx $$

Exercice 3

En utilisons la technique d'intégration par parties, évaluer les intégrales suivantes : $$ \int_{0}^{\pi} x\cos(x) dx \;,\; \int_{0}^{1}xe^xdx $$ $$ \int_{1}^{e}xln(x)dx \; ,\; \int_{0}^{\pi}xsin(3x)dx $$ $$ \int_{1}^{e}(t-2)e^{2t} dt \; ,\; \int_{0}^{1}(t+2)e^tdt $$

Exercice 4

En utilisons la technique d'intégration par parties deux fois, évaluer les intégrales suivantes : $$ \int_{0}^{\pi} sin(x)e^{-x}dx $$ $$ \int_{0}^{\pi}x^2 \cos(x)dx $$ $$ \int_{0}^{1}x^2e^xdx $$

Exercice 5

On considère les deux intégrales suivantes: $$ I=\int_{0}^{\pi/2} cos(t)e^{1-t}dt \; ,\; J=\int_{0}^{\pi/2}sin(t)e^{1-t} $$

1. Par integration par partie , montrer que $T=e-J$ et que $J=I-1$.
2. Déduire la valeur de $I$ et de $J$.

Exercice 6

1. Linéariser les expressions $cos^3(x)$ et $sin^2(x)-cos^3(x)$ .
2. Calculer les intégrales $I=\int_{0}^{\pi} cos^3(x)dx$ et $J=\int_{0}^{\pi} sin^2(x)-cos^3(x)dx$

Exercice 7

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=ln(x+\sqrt{x^2-1})$.

1. Déterminer $f'(x)$.
2. En déduire la valeur de $\int_{\sqrt{2}}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$.

Exercice 8

Montrer les inégalités suivantes :

1. $1 \leq \int_{0}^{1} e^{x^2} dx \leq e-1$.
2. $\frac{1}{2}ln(3) \leq \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{sin(x)}{x} dx \leq ln(3)$.

Exercice 9

Calculer les intégrales suivantes $$ \int_{-1}^{2}\vert x^2-x\vert dx $$ $$ \int_{-1}^{1} \vert e^{2x}-1\vert dx $$

Exercice 10

Calculer l'aire du domaine délimité par $(\mathcal{C})f)$ l'axe des abscisses et les droite $x=a$ et $x=b$ dans les cas suivants:

1. $f(x)=3x^2+1 \;,\; a=-1 \;,\; b=1 $
2. $f(x)=xe^x \;,\; a=0 \;,\; b=1 $
3. $f(x)=\frac{1}{x} \;,\; a=1 \;,\; b=e^2 $
4. $f(x)=ln(x+2) \;,\; a=-1 \;,\; b=2 $
5. $f(x)=(x-1)e^x \;,\; a=1 \;,\; b=ln(4) $

Exercice 11

Calculer le volume du corps de révolution engendré par la rotation de $(\mathcal{C})f)$ autour de l'axe des abscisses entre $x=a$ et $x=b$ dans les cas suivants:

1. $f(x)=\sqrt{1-x^2} \;,\; a=-1 \;,\; b=1 $
2. $f(x)=\sqrt{cos(x)}sin^2(x) \;,\; a=0 \;,\; b=\pi/2 $
3. $f(x)=\sqrt{ln(x)} \;,\; a=1 \;,\; b=e $