Exercices du calcul intégrale | 2 BAC BIOF

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calcul intégrale 2bac biof

7 Dans ce qui suit le plan est reporté à un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ avec $\Vert \overrightarrow{i}\Vert =\Vert \overrightarrow{j}\Vert =3cm$.

Exercice 1

Évaluer les intégrales suivantes : $${\int }_0^{\pi }\cos (x)+\sin (x)dx,{\int }_1^2\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$$ $${\int }_{-1}^1\frac{x}{x^2+1}dx,{\int }_{1/3}^1{e}^{3x+4}dx$$ $${\int }_0^1\frac{1}{x+1}dx,{\int }_3^9{x}^2+1dx$$

Exercice 2

Évaluer les intégrales suivantes : $${\int }_0^{\pi }\cos (x).\sin (x)dx,{\int }_0^1\frac{e^x}{1+e^x}dx$$ $${\int }_{-1}^{1}2x\sqrt[3]{x^2+1}dx,{\int }_0^{1}4x^3+\sqrt{x}dx$$

Exercice 3

En utilisons la technique d'intégration par parties, évaluer les intégrales suivantes : $${\int }_0^{\pi }x\cos (x)dx,{\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$$ $${\int }_1^{e}xln(x)dx,{\int }_0^{\pi }xsin(3x)dx$$ $${\int }_1^e(t-2)e^{2t}dt,{\int }_0^1(t+2)e^{t}dt$$

Exercice 4

En utilisons la technique d'intégration par parties deux fois, évaluer les intégrales suivantes : $${\int }_0^{\pi }sin(x)e^{-x}dx$$ $${\int }_0^{\pi }{x}^2\cos (x)dx$$ $${\int }_0^1{x}^2{e}^{x}dx$$

Exercice 5

On considère les deux intégrales suivantes: $$I={\int }_0^{\pi /2}cos(t)e^{1-t}dt,J={\int }_0^{\pi /2}sin(t)e^{1-t}$$

1. Par integration par partie , montrer que $T=e-J$ et que $J=I-1$.
2. Déduire la valeur de $I$ et de $J$.

Exercice 6

1. Linéariser les expressions $co{s}^3(x)$ et $si{n}^2(x)-co{s}^3(x)$ .
2. Calculer les intégrales $I={\int }_0^{\pi }co{s}^3(x)dx$ et $J={\int }_0^{\pi }si{n}^2(x)-co{s}^3(x)dx$

Exercice 7

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=ln(x+\sqrt{x^2-1})$.

1. Déterminer $f^{\prime }(x)$.
2. En déduire la valeur de ${\int }_{\sqrt{2}}^2\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$.

Exercice 8

Montrer les inégalités suivantes :

1. $1\le {\int }_0^1{e}^{x^2}dx\le e-1$.
2. $\frac{1}{2}ln(3)\le {\int }_{\pi /6}^{\pi /2}\frac{sin(x)}{x}dx\le ln(3)$.

Exercice 9

Calculer les intégrales suivantes $${\int }_{-1}^2|x^2-x|dx$$ $${\int }_{-1}^1|e^{2x}-1|dx$$

Exercice 10

Calculer l'aire du domaine délimité par $(\mathcal{C})f)$ l'axe des abscisses et les droite $x=a$ et $x=b$ dans les cas suivants:

1. $f(x)=3x^2+1,a=-1,b=1$
2. $f(x)=x{e}^x,a=0,b=1$
3. $f(x)=\frac{1}{x},a=1,b=e^2$
4. $f(x)=ln(x+2),a=-1,b=2$
5. $f(x)=(x-1)e^x,a=1,b=ln(4)$

Exercice 11

Calculer le volume du corps de révolution engendré par la rotation de $(\mathcal{C})f)$ autour de l'axe des abscisses entre $x=a$ et $x=b$ dans les cas suivants:

1. $f(x)=\sqrt{1-x^2},a=-1,b=1$
2. $f(x)=\sqrt{cos(x)}si{n}^2(x),a=0,b=\pi /2$
3. $f(x)=\sqrt{ln(x)},a=1,b=e$