la fonction partie entière - 2 bac Sm - toutes ses propriétés

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la fonction partie entière

On note $E(x)$ la partie entière d'un nombre réel $x$.

Exercice: Partie entière et équations

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations d'inconnue $x$ suivantes :

1. $E(2x-1)=E(x-4)$
2. $E(x+\sqrt{2})-E(x)-2=0$
3. $E(x{)}^2-E(x)-6=0$
4. $E(x/2)=E(x/3)$
5. $E(x).E(x+1)=6$

Exercice: Partie entière et inéquations

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations d'inconnue $x$ suivantes :

1. $E(2x)>3$
2. $E(x{)}^2+2E(x)-3⩽0$
3. $cos(E(x)\pi )+1/2⩾0$

Exercice: Identités Remarquables de la partie entière

Montrer les identités suivantes:

1. $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}:E(\frac{E(nx)}{n})=E(x)$
2. $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z},\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}:E(x+k)=E(x)+k$

Exercice: Partie entière et domaine de définition

Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ de la variable réelle définie dans chacun des cas :

1. $f(x)=\frac{x-1}{E(x-1)}$
2. $f(x)=\sqrt{x-E(x)}$
3. $f(x)=E\left(\frac{x^2-4}{x-1}\right)$

Exercice: Parties entière et variations de fonctions

Tracer le tableau des variations de la fonction $f$ définit par : $$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}:f(x)=E(x{)}^2-1$$

Exercice: Parties entière et limites

Calculer les limites suivantes:

1. $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\end{array}}{lim}x.E(1/x)$
2. $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\end{array}}{lim}E(x)sin(1/x)$
3. $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\end{array}}{lim}x-E(x)$
4. Montre que la fonction $h(x)=E(x)/E(x+1)$ n'admet pas de limite lorsque $x$ tend vers $1$.

Exercice: Parties entière et applications

Étudier la nature des applications ( injectivité - surjectivité -bijectivité):

1. Montrer que l'application $f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ telle que $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f(x)=x+E(x)$ est injective.
2. Montrer que l'application $f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{Z}$ telle que $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f(x)=E(x/2)-1$ est surjective.
3. Montrer que l'application $f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ telle que $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f(x)=x-E(x)+1/2$ est bijective.

Exercice: Parties entière et composition d'applications

Soient $f$ et $g$ les applications de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ définies par: $$(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}):f(n)=2n\text{et}g(n)=E\left(\frac{n}{2}\right)$$

1. Les applications $f$ et $g$ sont-elles bijectives?
2. Calculer $g\circ f$ puis $f\circ g$.
3. Les applications $g\circ f$ et $f\circ g$ sont-elles bijectives?