la fonction partie entière - 2 bac Sm - toutes ses propriétés

la fonction partie entière

On note $E(x)$ la partie entière d'un nombre réel $x$.

Exercice: Partie entière et équations

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations d'inconnue $x$ suivantes :

1. $ E(2x-1)=E(x-4) $
2. $ E(x+\sqrt{2})-E(x)-2=0 $
3. $ E(x)^2-E(x) - 6 = 0 $
4. $ E(x/2) = E(x/3) $
5. $ E(x).E(x+1) = 6 $

Exercice: Partie entière et inéquations

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations d'inconnue $x$ suivantes :

1. $ E(2x) > 3 $
2. $ E(x)^2 + 2 E(x) - 3 \leqslant 0 $
3. $ cos( E(x) \pi ) + 1/2 \geqslant 0 $

Exercice: Identités Remarquables de la partie entière

Montrer les identités suivantes:

1. $\forall n \in \mathbb{N}^*, \; \forall x \in \mathbb{R}: \quad E( \frac{E(nx)}{n}) = E(x)$
2. $\forall k \in \mathbb{Z}, \; \forall x \in \mathbb{R}: \quad E(x+k) = E(x) +k $

Exercice: Partie entière et domaine de définition

Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ de la variable réelle définie dans chacun des cas :

1. $ f(x) = \frac{x-1}{E(x-1)}$
2. $ f(x) = \sqrt{x-E(x)} $
3. $ f(x) = E \left( \frac{x^2 - 4}{ x -1} \right) $

Exercice: Parties entière et variations de fonctions

Tracer le tableau des variations de la fonction $f$ définit par : $$ \forall x \in \mathbb{R}: f(x) = E(x)^2 - 1 $$

Exercice: Parties entière et limites

Calculer les limites suivantes:

1. $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 }} x.E(1/x)$
2. $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 }} E(x)sin(1/x)$
3. $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 }} x - E(x)$
4. Montre que la fonction $h(x) = E(x) / E(x + 1)$ n'admet pas de limite lorsque $x$ tend vers $1$.

Exercice: Parties entière et applications

Étudier la nature des applications ( injectivité - surjectivité -bijectivité):

1. Montrer que l'application $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $ telle que $\forall x \in \mathbb{R}, \; f(x)= x + E(x) $ est injective.
2. Montrer que l'application $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{Z} $ telle que $\forall x \in \mathbb{R}, \; f(x)= E(x/2) - 1 $ est surjective.
3. Montrer que l'application $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $ telle que $\forall x \in \mathbb{R}, \; f(x)= x - E(x) + 1/2 $ est bijective.

Exercice: Parties entière et composition d'applications

Soient $f$ et $g$ les applications de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ définies par: $$ ( \forall n \in \mathbb{N} ): \quad f(n)=2 n \quad \text{et} \quad g(n)=E\left(\frac{n}{2}\right) $$

1. Les applications $f$ et $g$ sont-elles bijectives?
2. Calculer $g \circ f$ puis $f \circ g$.
3. Les applications $g \circ f$ et $f \circ g$ sont-elles bijectives?