Révision pour 2 bac sm étude de fonctions

Dans ces exercices, nous allons étudier les fonctions pour mieux les comprendre. Une fonction est comme une règle qui prend un nombre en entrée et renvoie un autre nombre en sortie. Nous allons regarder comment ces fonctions se comportent et comment elles affectent les chiffres qu'on leur donne. En faisant cela, nous apprendrons des choses importantes sur les mathématiques et comment les utiliser pour résoudre des problèmes réels.

Exercice: Etude de fonction

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\frac{1}{2} ;+\infty\left[\operatorname{par} f(x)=2 x-3+\frac{9}{2 x+1}\right.$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O ; \vec{i}, \vec{j})$.

1. Déterminer $\lim _{x \rightarrow-\frac{1}{2}} f(x)$.
2. Que peut-on dire du résultat précédent pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
3. Déterminer $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$.
4. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. $\\$ Montrer que, pour tout $x$ de $]-\frac{1}{2} ;+\infty\left[, f^{\prime}(x)=\frac{8(x+2)(x-1)}{(2 x+1)^2}\right.$.
5. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $]-\frac{1}{2} ;+\infty[$.
6. Compléter ce taleau de variation en y portant les limites obtenus
7. Déduire du tableau de variation le signe de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans $]-\frac{1}{2} ;+\infty[$.
8. Indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=10$ sur $]-\frac{1}{2} ;+\infty[$.

Exercice: Etude de fonction et distance asymptotique

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $] 2 ;+\infty\left[\operatorname{par} f(x)=x-1-\frac{2}{x-2}\right.$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O ; \vec{i}, \vec{j})$, et $\Delta$ la droite d'équation $y=x-1$.

1. Déterminer les limtes de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
2. Préciser les éventuelles asymptotes à $\mathcal{C}$.
3. Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer $f^{\prime}(x)$.
4. Montrer que, pour tout $x$ de $] 2 ;+\infty\left[, f^{\prime}(x)>0\right.$.
5. En déduire le tableau de variation de $f$.
6. Compléter ce tableau avec les limites calculées précédemment. Tracer alors l'allure de la courbe $\mathcal{C}$.
7. Soit $x \in] 2 ;+\infty[$; on note $M$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$, et $N$ le point de $\Delta$ d'abscisse $x$. Placer les points $M$ et $N$ sur le graphique précédent. $\\$ Déterminer la distance $M N$ en fonction de $x$, puis la limite de cette distance lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
8. Interpréter graphiquement ce résultat.