Explorez l'univers captivant des applications bijectives et découvrez comment ces fonctions spéciales établissent une correspondance unique entre deux ensembles. Plongez-vous dans ce défi mathématique pour affiner votre compréhension des propriétés exceptionnelles des fonctions injectives, surjectives et bijectives. Prêt(e) à relever le défi ? Let's go !
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| Application injectives , bijectives et surjectives - exercices |
Exercice: application injective, surjective et bijective
Considérons l'application $f: \mathbb{R}^+ \mapsto \mathbb{R}^+ $ telle que $\forall x \in \mathbb{R}^+, \; f(x)= x + x^2 $
- Montrer que l'application est injective.
- Montrer que l'application $f$ est surjective.
- En déduire que $f$ est bijective.
- Déterminer l'application réciproque $f^{-1}$ de $f$
Exercice: une application non injective non surjective
Considérons $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $ telle que $$ \forall x \in \mathbb{R}, \; f(x)= \frac{E(2x)}{2E(x) - 1} $$ avec $E(x)$ la partie entière d'un nombre réel $x$.
- Montrer que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que $f$ n'est pas injective .
- Montrer que $f$ n'est pas surjective .
- Déterminer $f(\mathbb{Z})$ .
Exercice: une bijection avec partie entiére
$E(x)$ la partie entière d'un nombre réel $x$. $\\$ Soit l'application $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $ telle que $$ \forall x \in \mathbb{R} \; f(x) = E(x)+ \sqrt{x - E(x)} $$
- Justifier d'abord que $f$ est bien definie sur $\mathbb{R}$
- Montrer que $f$ est une bijection
