Application injectives , bijectives et surjectives - exercices

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Explorez l'univers captivant des applications bijectives et découvrez comment ces fonctions spéciales établissent une correspondance unique entre deux ensembles. Plongez-vous dans ce défi mathématique pour affiner votre compréhension des propriétés exceptionnelles des fonctions injectives, surjectives et bijectives. Prêt(e) à relever le défi ? Let's go !

Application injectives , bijectives et surjectives - exercices

Exercice: application injective, surjective et bijective

Considérons l'application $f:{\mathbb{R}}^{+}\mapsto {\mathbb{R}}^{+}$ telle que $\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{+},f(x)=x+x^2$

1. Montrer que l'application est injective.
2. Montrer que l'application $f$ est surjective.
3. En déduire que $f$ est bijective.
4. Déterminer l'application réciproque $f^{-1}$ de $f$

Exercice: une application non injective non surjective

Considérons $f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ telle que $$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f(x)=\frac{E(2x)}{2E(x)-1}$$ avec $E(x)$ la partie entière d'un nombre réel $x$.

1. Montrer que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que $f$ n'est pas injective .
3. Montrer que $f$ n'est pas surjective .
4. Déterminer $f(\mathbb{Z})$ .

Exercice: une bijection avec partie entiére

$E(x)$ la partie entière d'un nombre réel $x$. $$ Soit l'application $f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ telle que $$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}f(x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)}$$

1. Justifier d'abord que $f$ est bien definie sur $\mathbb{R}$
2. Montrer que $f$ est une bijection