Dans cet article, embarquez pour un voyage mathématique captivant et explorez le pouvoir de la récurrence. La récurrence est une méthode puissante pour résoudre des problèmes de suites et de fonctions trigonométriques en utilisant un raisonnement étape par étape. Vous rencontrerez des exercices stimulants qui vous permettront de développer votre raisonnement logique et votre créativité. Des suites mystérieuses et des énigmes mathématiques vous attendent. Alors, êtes-vous prêts à relever ces défis et à plonger dans cette aventure mathématique excitante ?
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| principe de récurrence |
Exercice: Principe de récurrence et Suite récursive
Considérez la suite définie de manière récursive par : $$ a_1 = 1, \quad a_{n+1} = 2a_n + 3 \quad \text{pour tout } n \geq 1 $$ Démontrer que pour tout entier n, la valeur de $a_n$ est donnée par $a_n = 2^n - 1$.
Exercice : Somme des premières puissances de $2$ et principe de récurrence
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, la somme des $n$ premières puissances de $2$ est donnée par la formule : $$ 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n = 2^{n+1} - 1 $$
Exercice: Suite récurrente
Considérez la suite définie de manière récursive par : $$ a_1 = 1, \quad a_{n+1} = 3a_n + 2^n \quad \text{pour tout } n \geq 1 $$ Démontrer que pour tout entier $n$, la valeur de $ a_n $ est donnée par $ a_n = 2^{n+1} - n - 2 $.
Exercice: Suite récurrente non linéaire
Considérez la suite définie de manière récursive par : $$ a_1 = 1, \quad a_2 = 2, \quad a_{n+1} = \frac{a_n \cdot a_{n-1}}{2} \quad \text{pour tout } n \geq 2 $$ Démontrer que pour tout entier $n$, la valeur de $ a_n $ est donnée par $ a_n = \frac{2^n}{n} $.
Exercice: Applications et récurrence
- Soit $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ injective telle que $\forall n \in \mathbb{N}, f(n) \leq n$. Montrer que $\forall n \in$ $\mathbb{N}, f(n)=n$
- Soit $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ surjective telle que $\forall n \in \mathbb{N}, f(n) \geq n$. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, f(n)=n$
Exercice: Encadrement d'une suite et principe de récurrence
Soit la suite définie par : $$ u_0 = 1 \; \text{ et } \; u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n} $$ Montrer que $ \forall n \in \mathbb{N} \; 0 \leq u_n \leq 3 $ .
Exercice: principe de récurrence et dérivées successives
Soit la fonction f définie pour tout $x \neq 1$ par: $$ f(x) = \frac{1}{x+1} $$ Démontrer par récurrence que : $$ \forall n \in \mathbb{N}: \; f^n(x) = \frac{(-1)^n n! }{(1+x)^{n+1}} $$ avec $ f^n $ est la dérivée n-ième de $f$.
Exercice: principe de récurrence et arithmétiques
Démontrer que pour tout entier $n$, $10^n – 1$ est un multiple de $9$.
