principe de récurrence - exercices variés - 2 bac sm

Dans cet article, embarquez pour un voyage mathématique captivant et explorez le pouvoir de la récurrence. La récurrence est une méthode puissante pour résoudre des problèmes de suites et de fonctions trigonométriques en utilisant un raisonnement étape par étape. Vous rencontrerez des exercices stimulants qui vous permettront de développer votre raisonnement logique et votre créativité. Des suites mystérieuses et des énigmes mathématiques vous attendent. Alors, êtes-vous prêts à relever ces défis et à plonger dans cette aventure mathématique excitante ?

principe de récurrence

Exercice: Principe de récurrence et Suite récursive

Considérez la suite définie de manière récursive par : $$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+3\text{pour tout }n\ge 1$$ Démontrer que pour tout entier n, la valeur de $a_n$ est donnée par $a_n=2^n-1$.

Exercice : Somme des premières puissances de $2$ et principe de récurrence

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, la somme des $n$ premières puissances de $2$ est donnée par la formule : $$1+2+2^2+2^3+...+2^n=2^{n+1}-1$$

Exercice: Suite récurrente

Considérez la suite définie de manière récursive par : $$a_1=1,a_{n+1}=3a_n+2^n\text{pour tout }n\ge 1$$ Démontrer que pour tout entier $n$, la valeur de $a_n$ est donnée par $a_n=2^{n+1}-n-2$.

Exercice: Suite récurrente non linéaire

Considérez la suite définie de manière récursive par : $$a_1=1,a_2=2,a_{n+1}=\frac{a_n\cdot a_{n-1}}{2}\text{pour tout }n\ge 2$$ Démontrer que pour tout entier $n$, la valeur de $a_n$ est donnée par $a_n=\frac{2^n}{n}$.

Exercice: Applications et récurrence

1. Soit $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ injective telle que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},f(n)\le n$. Montrer que $\mathrm{\forall }n\in$ $\mathbb{N},f(n)=n$
2. Soit $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ surjective telle que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},f(n)\ge n$. Montrer que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},f(n)=n$

Exercice: Encadrement d'une suite et principe de récurrence

Soit la suite définie par : $$u_0=1\text{ et }{u}_{n+1}=\sqrt{6+u_n}$$ Montrer que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}0\le u_n\le 3$ .

Exercice: principe de récurrence et dérivées successives

Soit la fonction f définie pour tout $x\ne 1$ par: $$f(x)=\frac{1}{x+1}$$ Démontrer par récurrence que : $$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:f^n(x)=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(1+x{)}^{n+1}}$$ avec $f^n$ est la dérivée n-ième de $f$.

Exercice: principe de récurrence et arithmétiques

Démontrer que pour tout entier $n$, ${10}^n–1$ est un multiple de $9$.