Composition d'applications - exercices - Bac Sm

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étude de compositions d'applications

dans cette série d'exercices sont proposés des des situations pour la manipulation de la composition d'applications dans différents contextes. essayer de les faire avec bonne rédaction. bon courage !

Composition d'applications - exercices - Bac Sm

Exercice: Domaine de définition de la composée de deux applications

Donner le domaine de définition ainsi que la forme de la fonction $f\circ g,g\circ f,f\circ f$ et $g\circ g$ pour les fonctions $f$ et $g$ définies de la façon suivante :

1. $f(x)=2x^2-x,g(x)=3x+2$,
2. $f(x)=1-x^3,g(x)=\frac{1}{x}$,
3. $f(x)=\sin (x),g(x)=1-\sqrt{x}$,
4. $f(x)=\sqrt{2x+3},g(x)=x^2+2$.

Exercice: Domaine et forme de composée de trois applications

Donner le domaine de définition ainsi que la forme de la fonction $f\circ g\circ h$ pour les fonctions $f,g$ et $h$ définies de la façon suivante :

1. $f(x)=x+1,g(x)=2x,h(x)=x-1$,
2. $f(x)=\sqrt{x-1},g(x)=x^2+2,h(x)=x+3$,
3. $f(x)=\frac{2}{x+1},g(x)=\cos (x),h(x)=\sqrt{x+3}$.

Exercice: Mettre sous forme de composée

Donner le domaine de définition des fonctions $F$ suivantes et les mettre sous la forme $f\circ g$ où $f$ et $g$ sont à définir.

1. $F(x)=\sin (\sqrt{x})$,
2. $F(x)=\frac{x^2}{x^2+4}$.

Exercice: Composition d'applications et Parité

Vérifier si les affirmations suivantes sont vraies ou non :

1. Si $g$ est une fonction paire et $h=f\circ g$ alors, $h$ est aussi une fonction paire.
2. Si $g$ est une fonction impaire et $h=f\circ g$ alors, $h$ est aussi une fonction impaire.

Exercice: une application composée avec elle meme

Soit $f:[0,1]\to [0,1]$ telle que $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{ si }x\in [0,1]\cap \mathbb{Q},\\ 1-x& \text{ sinon. }\end{array}$$ Démontrer que $f\circ f=i{d}_{\mathbb{R}}$.

Exercice: composition et nature d'applications

On considère quatre ensembles $A,B,C$ et $D$ et des applications $f:A\to B,g:B\to C,h:C\to D$.

1. Montrer que : $$\begin{array}{c}g\circ f\text{ injective }\Rightarrow f\text{ injective, }\\ g\circ f\text{ surjective }\Rightarrow g\text{ surjective. }\end{array}$$
2. Montrer que : $$\text{ ( }g\circ f\text{ et }h\circ g\text{ sont bijectives })\iff (f,g\text{ et }h\text{ sont bijectives })\text{. }$$