Dans notre article dédié à la Continuité et au Théorème des Valeurs Intermédiaires, destiné aux étudiants en 2ème année du Baccalauréat en Sciences Mathématiques (2 Bac SM), vous trouverez une collection d'exercices pertinents et stimulants. Plongez-vous dans ces exercices conçus pour consolider votre maîtrise de ces concepts mathématiques cruciaux. Préparez-vous de manière optimale pour vos évaluations tout en améliorant vos compétences en résolution de problèmes mathématiques grâce à notre sélection exclusive.
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| continuité et théorèmes des valeurs intermédiaires |
Exercice 1
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f([0,1]) \subset [0,1] $. $\\$ Montrer que $(\exists c \in [0,1] )$ tel que $ f(c)=c$ .
Exercice 2
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0)=0 $ et $f(1)=1$. $\\$ Montrer que $(\exists c \in ]0,1[ )$ tel que $ f(c)=\frac{1-c}{1+c}$ .
Exercice 3
Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ telle que $f(a)=f(b)$. $\\$ Montrer que l'équation $f(x)=f(x+\frac{b-a}{2})$ admet au moins une solution dans $[a,b]$.
Exercice 4
Soient $\beta $ et $ \lambda $ deux éléments de $ \mathbb{R}^{*+} $ et $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle $[0,1]$ tel que $f(1) \neq f(0)$ $\\$ Démontrer que $ \exists x_{0} \in ]0,1[: \lambda f(0) + \beta f(1) = (\lambda +\beta)f(x_{0}) $.
Exercice 5
soit $f:[0,1] \mapsto [0,1] $ une fonction continue. Montrer que : $$ (\forall n \in \mathbb{N}^*) \; (\exists c_n \in [0,1] )\; / \; f(c_n)=c_n^n $$
Exercice 6
Montrer que l'équation $cos(x)=x$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.
Exercice 7
on considère $f$ une fonction numérique définit sur $[a,b]$ vers $[a,b]$ telle que ! $$ (\forall (x,t) \in [a,b]^2 ) \; \vert f(x) - f(t) \vert < \vert x - t \vert $$
- Montrer que $f$ est continue sur $[a,b]$.
- Montrer qu'il existe $c \in[a,b]$ tel que $f(c)=c$.
- justifier que $c$ est unique.
Exercice 8
Soit $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $ une fonction telle que $ \forall x, y \in \mathbb{R} $ on a $ \vert f(x)-f(y) \vert \leq \vert sin (x)-sin(y) \vert $
- Montrer que la fonction $f$ est $2 \pi -$ périodique.
- Montrer que $f$ est continue sur $ \mathbb{R} $ .
Exercice 9
Soit $f$ une fonction numérique définit sur $\mathbb{R}^+$. On suppose que $f$ est positive et continue sur $\mathbb{R}^+$ telle que $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}=l < 1$. $\\$ Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet au mois une solution dans $\mathbb{R}^+$.
Exercice 10
On suppose que $f$ est une fonction numérique continue sur $\mathbb{R}$ vérifiant : $$ (\forall x \in \mathbb{R} ) \; f(\vert x \vert ) = \vert f(x) \vert $$ Montrer que $f$ est une fonction paire.
Exercice 11
Soit $f$ une fonction définie de $[0 ; 1]$ dans $[0 ; 1]$ et continue sur $[0 ; 1]$. Établir que $(\exists c \in[0 ; 1]) f(c)+f(1-c)=2 c$
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