Exercices sur la Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Dans notre article dédié à la Continuité et au Théorème des Valeurs Intermédiaires, destiné aux étudiants en 2ème année du Baccalauréat en Sciences Mathématiques (2 Bac SM), vous trouverez une collection d'exercices pertinents et stimulants. Plongez-vous dans ces exercices conçus pour consolider votre maîtrise de ces concepts mathématiques cruciaux. Préparez-vous de manière optimale pour vos évaluations tout en améliorant vos compétences en résolution de problèmes mathématiques grâce à notre sélection exclusive.

continuité et théorèmes des valeurs intermédiaires

Exercice 1

Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f([0,1])\subset [0,1]$. $$ Montrer que $(\mathrm{\exists }c\in [0,1])$ tel que $f(c)=c$ .

Exercice 2

Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. $$ Montrer que $(\mathrm{\exists }c\in ]0,1[)$ tel que $f(c)=\frac{1-c}{1+c}$ .

Exercice 3

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ telle que $f(a)=f(b)$. $$ Montrer que l'équation $f(x)=f(x+\frac{b-a}{2})$ admet au moins une solution dans $[a,b]$.

Exercice 4

Soient $\beta$ et $\lambda$ deux éléments de ${\mathbb{R}}^{\ast +}$ et $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle $[0,1]$ tel que $f(1)\ne f(0)$ $$ Démontrer que $\mathrm{\exists }{x}_0\in ]0,1[:\lambda f(0)+\beta f(1)=(\lambda +\beta )f(x_0)$.

Exercice 5

soit $f:[0,1]\mapsto [0,1]$ une fonction continue. Montrer que : $$(\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast })(\mathrm{\exists }{c}_n\in [0,1])/f(c_n)=c_n^n$$

Exercice 6

Montrer que l'équation $cos(x)=x$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.

Exercice 7

on considère $f$ une fonction numérique définit sur $[a,b]$ vers $[a,b]$ telle que ! $$(\mathrm{\forall }(x,t)\in [a,b{]}^2)|f(x)-f(t)|<|x-t|$$

1. Montrer que $f$ est continue sur $[a,b]$.
2. Montrer qu'il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=c$.
3. justifier que $c$ est unique.

Exercice 8

Soit $f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ une fonction telle que $\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{R}$ on a $|f(x)-f(y)|\le |sin(x)-sin(y)|$

1. Montrer que la fonction $f$ est $2\pi -$ périodique.
2. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 9

Soit $f$ une fonction numérique définit sur ${\mathbb{R}}^{+}$. On suppose que $f$ est positive et continue sur ${\mathbb{R}}^{+}$ telle que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=l<1$. $$ Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet au mois une solution dans ${\mathbb{R}}^{+}$.

Exercice 10

On suppose que $f$ est une fonction numérique continue sur $\mathbb{R}$ vérifiant : $$(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})f(|x|)=|f(x)|$$ Montrer que $f$ est une fonction paire.

Exercice 11

Soit $f$ une fonction définie de $[0;1]$ dans $[0;1]$ et continue sur $[0;1]$. Établir que $(\mathrm{\exists }c\in [0;1])f(c)+f(1-c)=2c$

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