proposition
Commençons par le rappel suivant: - la composée de deux fonctions croissantes est croissante.
- la composée de deux fonctions décroissantes est croissante.
- la composée de deux fonctions de sens de variation opposés est décroissante.
probleme
on considère $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définit par :$$ f(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1} $$ - Déterminer $D_f$ le domaine de définition de $f$ .
- vérifier que $f$ est majorée par le nombre $M=1$ et qu'elle minorée par $m=-2$.
- vérifier que $m=-2$ est une valeur minimale de $f$.
- on considére les deux fonctions numériques définit par : $$h(x)=\frac{x-2}{x+1} \: ; \: g(x)=\sqrt{x}$$
- montrer que $f=h \circ g $.
- étudier le sens de variation de $h$ et de $g$.
- en déduire le sens de variation de $f$.
correction
- on a: \[ \left. \begin{array}{c c l} x \in D_f & \Longleftrightarrow & x\in \mathbb{R},x\geq 0 , \sqrt{x}+1 \neq 0 \\ \\ & \Longleftrightarrow & x\in \mathbb{R},x\geq 0 , \sqrt{x} \neq -1 \\ \\ & \Longleftrightarrow & x\in \mathbb{R},x\geq 0 \\ \\ & \Longleftrightarrow & x\in \mathbb{R},x \in \mathbb{R}^+ \end{array} \right. \] donc $D_f=\mathbb{R}^+$.
- on a: \[ \left. \begin{array}{c c l} f(x)-1 & = & \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}-1 \\ \\ & = & \frac{\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \\ \\ & = & \frac{-3}{\sqrt{x}+1} <0 -2="" array="" begin="" c="" d="" duit="" e="" end="" est="" f="" frac="" geq0="" geq="" ightarrow="" l="" left.="" m="-2$.</li" major="" minor="" on="" par="" que="" right.="" sqrt="" x="">
- pour vérifier que $m=-2$ est une valeur minimale pour $f$ on vérifie si l'équation $f(x)=-2$ a une solution. $\\$ on a \[ \left. \begin{array}{c c l} f(x)=-2 & \Longleftrightarrow & \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=-2 \\ \\ & \Longleftrightarrow & \sqrt{x}-2=-2(\sqrt{x}+1) \\ \\ & \Longleftrightarrow & 3\sqrt{x}=0 \\ \\ & \Longleftrightarrow & x=0 \in D_f \\ \\ \end{array} \right. \] on déduit que $m=-2$ est une valeur minimale pour $f$ en $x=0$.
- montrons que $f=h \circ g$. $\\$ d'abord on détermine $D_{h \circ g}$. on a: \[ \left. \begin{array}{c c l} x \in D_{h \circ g} & \Longleftrightarrow & x\in \mathbb{R},x in D_g , g(x) \in D_h \\ \\ & \Longleftrightarrow & x\in \mathbb{R},x \geq 0 , g(x) \neg -1 \\ \\ & \Longleftrightarrow & x\in \mathbb{R},x \geq 0\\ \\ & \Longleftrightarrow & x\in \mathbb{R},x \in \mathbb{R}^+ \end{array} \right. \] donc $D_{h \circ g}=\mathbb{R}^+=D_f$. $\\$ d'un autre part, pour $x \in \mathbb{R}^+$: \[ \left. \begin{array}{c c l} h \circ g (x) & = & h(g(x)) \\ \\ & = & f(\sqrt{x}) \\ \\ & = & \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\\ \\ & = & f(x) \end{array} \right. \] on conclut que $f=h \circ g$.
- on a $g$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$ et $g(\mathbb{R}^+)= \mathbb{R}^+ \subset \mathbb{R}-\lbrace-1\rbrace=D_h$. or $h$ est une fonction homographique dont le déterminant est $1+2=3>0$ donc $h$ est croissante.
- on conclut que $f$ est croissante comme composée de deux fonctions croissantes.
