étude de la composée de deux fonction... un problème corrigé

proposition

Commençons par le rappel suivant:

• la composée de deux fonctions croissantes est croissante.
• la composée de deux fonctions décroissantes est croissante.
• la composée de deux fonctions de sens de variation opposés est décroissante.

probleme

on considère $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définit par :$$f(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}$$

1. Déterminer $D_f$ le domaine de définition de $f$ .
2. vérifier que $f$ est majorée par le nombre $M=1$ et qu'elle minorée par $m=-2$.
3. vérifier que $m=-2$ est une valeur minimale de $f$.
4. on considére les deux fonctions numériques définit par : $$h(x)=\frac{x-2}{x+1};g(x)=\sqrt{x}$$
• montrer que $f=h\circ g$.
• étudier le sens de variation de $h$ et de $g$.
• en déduire le sens de variation de $f$.

correction

1. on a: $$\begin{array}{ccl}x\in D_f& ⟺& x\in \mathbb{R},x\ge 0,\sqrt{x}+1\ne 0\\ \\ & ⟺& x\in \mathbb{R},x\ge 0,\sqrt{x}\ne -1\\ \\ & ⟺& x\in \mathbb{R},x\ge 0\\ \\ & ⟺& x\in \mathbb{R},x\in {\mathbb{R}}^{+}\end{array}$$ donc $D_f={\mathbb{R}}^{+}$.
2. on a: \[ \left. \begin{array}{c c l} f(x)-1 & = & \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}-1 \ \ & = & \frac{\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \ \ & = & \frac{-3}{\sqrt{x}+1} <0 -2="" array="" begin="" c="" d="" duit="" e="" end="" est="" f="" frac="" geq0="" geq="" ightarrow="" l="" left.="" m="-2$.</li" major="" minor="" on="" par="" que="" right.="" sqrt="" x="">
3. pour vérifier que $m=-2$ est une valeur minimale pour $f$ on vérifie si l'équation $f(x)=-2$ a une solution. $$ on a $$\begin{array}{ccl}f(x)=-2& ⟺& \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=-2\\ \\ & ⟺& \sqrt{x}-2=-2(\sqrt{x}+1)\\ \\ & ⟺& 3\sqrt{x}=0\\ \\ & ⟺& x=0\in D_f\\ \end{array}$$ on déduit que $m=-2$ est une valeur minimale pour $f$ en $x=0$.
4. • montrons que $f=h\circ g$. $$ d'abord on détermine $D_{h\circ g}$. on a: $$\begin{array}{ccl}x\in D_{h\circ g}& ⟺& x\in \mathbb{R},xin{D}_g,g(x)\in D_h\\ \\ & ⟺& x\in \mathbb{R},x\ge 0,g(x)\mathrm{\neg }-1\\ \\ & ⟺& x\in \mathbb{R},x\ge 0\\ \\ & ⟺& x\in \mathbb{R},x\in {\mathbb{R}}^{+}\end{array}$$ donc $D_{h\circ g}={\mathbb{R}}^{+}=D_f$. $$ d'un autre part, pour $x\in {\mathbb{R}}^{+}$: $$\begin{array}{ccl}h\circ g(x)& =& h(g(x))\\ \\ & =& f(\sqrt{x})\\ \\ & =& \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\\ \\ & =& f(x)\end{array}$$ on conclut que $f=h\circ g$.
   • on a $g$ est croissante sur ${\mathbb{R}}^{+}$ et $g({\mathbb{R}}^{+})={\mathbb{R}}^{+}\subset \mathbb{R}-\{-1\}=D_h$. or $h$ est une fonction homographique dont le déterminant est $1+2=3>0$ donc $h$ est croissante.
   • on conclut que $f$ est croissante comme composée de deux fonctions croissantes.