Généralités sur les suites numériques ... résumé du cour

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Généralité sur les suites numériques

activite

on considère une partie de $\mathbb{N}$ de forme $I_{n_0}=\{n_0;n_0+1;n_0+2;....\}$, par exemple $I_3=\{3;4;5;....\}$ , $I_{10}=\{10;11;12;....\}$ et $I_0=\{0;1;2;....\}=\mathbb{N}$ $$ on considère la fonction $U$ définit par : $$\begin{array}{rcl}U:I_{n_0}& \mapsto & \mathbb{R}\\ n& \mapsto & U(n)\end{array}$$ la fonction $U$ est définie sur une partie de $\mathbb{N}$ qui est $I_{n_0}$ contrairement à fonction numérique qui est définie sur une partie de $\mathbb{R}$$$ $U$ est dite une suite numérique , de plus l'image de $n$ est noté $U_n$ et non $U(n)$.

exemple

on a les suites suivantes: $$\begin{array}{rcl}U:I_2& \mapsto & \mathbb{R}\\ n& \mapsto & U_n=\frac{n}{n(n-1)}\end{array}\begin{array}{rcl}U:I_{10}& \mapsto & \mathbb{R}\\ n& \mapsto & U_n=\sqrt{n-10}\end{array}$$ pour expliciter l'ensemble de définition de la suite on la note: ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ ,${\left(V_n\right)}_{n\ge n_0}$, ${\left(W_n\right)}_{n\ge n_0}$...

exemple

on utilise les notations suivantes pour exprimer les suites: $$ ${(n^2+n-2)}_{n\ge 0}$,${(\frac{1}{n}+1)}_{n\ge 1}$,${(\sqrt{n-4}+n+1)}_{n\ge 4}$. $$ on a la terminologie suivante:

1. la suite est noté ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$.
2. les images sont notés $U_n$, $U_n$ est dit le terme générale de la suite ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$.
3. $U_{n_0}$ est dit le premier terme.

la figure suivantes permet de schématiser la notions de suites numériques:

une suite numérique

définition

On appelle suite récurrente toute suite numérique dont le calcule d'un terme dépend d'un ou plusieurs terme le précédant. $$ par exemple la suite définit par : $$U_0=1;U_{n+1}=U_n+2$$ dans ce cas on a : $U_0=1$ et $U_1=U_0+2=1+2=3$ et $U_2=U_1+2=3+2=5$. $$ un autre exemple est la suite de Fibonacci: $$U_0=1;U_1=1;U_{n+2}=U_{n+1}+U_n$$ chaque terme $U_n$ ( pour $n\ge 2$ ) est la somme des deux termes qui le précédent. $$ on a : $$ $U_0=1$, $U_1=1$, $U_2=U_1+U_0=1+1=2$ et $U_3=U_2+U_1=2+1=3$ et $U_4=U_3+U_2=3+2=5$ $$ comme ça: la suite de Fibonacci suit le développement suivant : $$1;1;2;3;5;8;13;21;34;...$$

Suite majorée - minorée - bornée

définition

Soit ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ une suite numérique.

1. on dit que ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est majorée s'il existe un nombre réel $M$ tel que : $$(\mathrm{\forall }n\ge n_0)U_n\le M$$
2. on dit que ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est minorée s'il existe un nombre réel $m$ tel que : $$(\mathrm{\forall }n\ge n_0)m\le U_n$$
3. on dit que ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est borné s'il est majorée et minorée c'est à dire s'il existe deux nombres réels $M$ et $m$ tels que : $$(\mathrm{\forall }n\ge n_0)m\le U_n\le M$$

exemple

la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge 1}$ définit par $u_n=\frac{1}{n}$ est majorée par $M=1$ et est minorée par $m=0$, donc elle est bornée. $$ la suite ${\left(v_n\right)}_{n\ge 0}$ définit par $v_n=(-1{)}^n$ est majorée par $M=1$ et est minorée par $m=-1$, donc elle est bornée.

Suite croissante - décroissante - constante

définition

Soit ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ une suite numérique.

1. on dit que ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est croissante si : $$(\mathrm{\forall }n\ge n_0)U_n\le U_{n+1}$$
2. on dit que ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est décroissante si : $$(\mathrm{\forall }n\ge n_0)U_{n+1}\le U_n$$
3. on dit que ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est constante si : $$(\mathrm{\forall }n\ge n_0)U_{n+1}=U_n$$

remarque

Soit ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ une suite numérique.

1. la suite ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est croissante si : $$(\mathrm{\forall }n\ge n_0)U_{n+1}-U_n\ge 0$$
2. la suite ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est décroissante si : $$(\mathrm{\forall }n\ge n_0)U_{n+1}-U_n\le 0$$
3. la suite ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est constante si : $$(\mathrm{\forall }n\ge n_0)U_{n+1}-U_n=0$$

exemple

la suite définie par $u_n=n^2+n$ est croissante . $$ en effet pour $n\in \mathbb{N}$ on a: $$ $u_{n+1}-u_n=(n+1{)}^2+(n+1)-(n^2+n)$ donc $u_{n+1}-u_n=n^2+2n+1+n+1-n^2-n$ donc $u_{n+1}-u_n=2n+2$ or $2n+2>0$ donc la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante.

exemple

la suite définie par $v_n=\frac{1}{2n}-n+1$ est décroissante . $$ en effet pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ on a: $$ $n<n+1$ donc $-n>-(n+1)$ et $\frac{1}{2n}>\frac{1}{2(n+1)}$ par addition membre par membre on a : $$\frac{1}{2n}-n+1>\frac{1}{2(n+1)}-(n+1)+1$$ d'où $v_n>v_{n+1}$ pour $(\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ $$ finalement la suite $(v_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est décroissante. \end{exemple}

Suite arithmétique

définition

On dit qu'une suite ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est arithmétique s'il existe un nombre réel $r$ tel que : $$(\mathrm{\forall }n\ge n_0):U_{n+1}=U_n+r$$ le nombre $r$ est dit raison de la suite arithmétique ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$. \end{definition} la figure suivante illustre cette définition.

 suite arithmétique

Les séquences suivantes sont des suites arithmétiques : $$0;4;8;14;16;20;24;28;...$$ dans ce cas le raison est $r=4$. $$0;10;20;30;40;50;60;...$$ dans ce cas le raison est $r=10$. $$-5;10;25;40;55;70;...$$ dans ce cas le raison est $r=15$.

remarque

pour monter qu'une suite ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est arithmétique on teste si la différence $U_{n+1}-U_n$ dépend de $n$ ou non. $$ si oui alors ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ n'est pas arithmétique si non elle est.

exemple

soit $u_n=3n+1$ alors la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est arithmétique de raison $r=3$ , en effet: $$ pour $n\in \mathbb{N}$ on a $u_{n+1}=3(n+1)+1=3n+3+1$ donc $u_{n+1}=3(n+1)+1=3n+1+3=u_n+3$

proposition

soit ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ une suite arithmétique, alors:

1. $(\mathrm{\forall }n\ge n_0):U_{n+1}-U_n=r$
2. $(\mathrm{\forall }n\ge n_0):U_n=U_{n_0}+(n-n_0)r$
3. $(\mathrm{\forall }n\ge n_0):(\mathrm{\forall }p\ge n_0):U_n=U_p+(n-p)r$
4. Si $S$ désigne la somme $S=U_p+U_{p+1}+\cdots +U_n$ alors : $$S=(n-p+1)\frac{U_p+U_n}{2}$$

Suite géométrique

definition

On dit qu'une suite ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est géométrique s'il existe un nombre réel $q$ tel que : $$(\mathrm{\forall }n\ge n_0):U_{n+1}=q.U_n$$ le nombre $q$ est dit raison de la suite arithmétique ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$. la figure suivante illustre cette définition.

suite_géométrique

Les séquences suivantes sont des suites géométriques : $$2;4;8;16;32;64;128;...$$ dans ce cas le raison est $q=2$. $$1;10;100;1000;10000;100000;...$$ dans ce cas le raison est $q=10$. $$-5;10;-20;40;-80;160;...$$ dans ce cas le raison est $q=-2$.

proposition

soit ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ une suite géométrique, alors:

1. $(\mathrm{\forall }n\ge n_0):U_{n+1}\pm U_n=q$
2. $(\mathrm{\forall }n\ge n_0):U_n=q^{n-n_0}{U}_{n_0}$
3. $(\mathrm{\forall }n\ge n_0):(\mathrm{\forall }p\ge n_0):U_n=q^{n-p}{U}_p$
4. Si $S$ désigne la somme $S=U_p+U_{p+1}+\cdots +U_n$ alors : $$S=\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}{U}_p$$