étude d'une fonction définit par une racine - Exercice corrigé - 2 Bac Biof

étude de fonctions

problème

On considère la fonction $f$ définit sur $\mathbb{R}$ par: $$f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$$ et $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. monter que $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})$ , $f(x)>0$.
2. montrer que: $$(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})f(x)+2x=\frac{1}{f(x)}$$
3. • a) évaluer la limite de $f$ en $-\mathrm{\infty }$.
   • b) monter que la droite $(D)$ d'équation $y=-2x$ est une asymptote de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au voisinage de $-\mathrm{\infty }$.
   • c) étudier les position relatives de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et la droite $(D)$.
4. • a) évaluer la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }$.
   • b) en déduire que $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet une autre asymptote $(\mathrm{\Delta })$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$.
5. monter que pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a:$$f^{\prime }(x)=-\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+1}}$$
6. poser la table de variations de la fonction $f$.
7. déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au point d'abscisse $0$.
8. étudier la position de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ par rapport à $T$.
9. construire la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

correction

la fonction $f$ est définit sur $\mathbb{R}$ avec $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$.

1. montrons que $f(x)$ est toujours positive. on a deux cas à distinguer :
   1. [cas où $x\le 0$ :] dans ce cas on a $\sqrt{x^2+1}>0$ et comme $x\le 0$ alors $-x\ge 0$ donc $$\sqrt{x^2+1}-x>0$$ d'où $f(x)$ est strictement positive pour $x\le 0$.
   2. [cas où $x\ge 0$ :] dans ce cas on a : $x^2+1>x^2$ par suite $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}$ comme $x\ge 0$ on a $\sqrt{x^2}=x$. $$\sqrt{x^2+1}>x$$ d'où $\sqrt{x^2+1}-x>0$ $$ d'où $f(x)$ est strictement positive pour $x\le 0$. finalement et par le principe de disjonction des cas on conclut que $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})$ , $f(x)>0$.
2. montrons que: $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})f(x)+2x=\frac{1}{f(x)}$. on a : $$\begin{array}{ccc}f(x)+2x& =& \sqrt{x^2+1}-x+2x\\ \\ & =& \sqrt{x^2+1}+x\\ \\ & =& \frac{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)}{\sqrt{x^2+1}-x}\\ \\ & =& \frac{{\sqrt{x^2+1}}^2-x^2}{\sqrt{x^2+1}-x}\\ \\ & =& \frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}-x}\\ \\ & =& \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}\\ \\ & =& \frac{1}{f(x)}\end{array}$$ où dans la troisième ligne on a multiplié par le conjugué de $\sqrt{x^2+1}+x$.
3. • a) calculons la limite de $f$ en $-\mathrm{\infty }$. on a : $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+1}-x=+\mathrm{\infty }$$ car $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+1}=+\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}-x=+\mathrm{\infty }$.
   • b) montons que la droite $(D)$ d'équation $y=-2x$ est une asymptote de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au voisinage de $-\mathrm{\infty }$. pour cella on montre que: $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)-(-2x)=0$$ on a $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)-(-2x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)+2x=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{f(x)}$$ or $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$ donc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{f(x)}=0$ $$ finalement $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)-(-2x)=0$ $$ d'où la conclusion.
   • c) on a $f(x)-(-2x)=f(x)+2x=\frac{1}{f(x)}$ et comme $f$ est toujours strictement positive on déduit que $f(x)-(-2x)>0$ donc $f(x)>-2x$, on conclut que $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est toujours au dessus de $(D)$.
4. • a) calculons la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }$. on a : $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+1}-x$$ par multiplication par le conjugué on aura : $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=+\mathrm{\infty }$$ car $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+1}=+\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x=+\mathrm{\infty }$. $$ en déduit que : $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$$
   • b) d'après la question précédente on a $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$ , en déduit que $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet la droite $(\mathrm{\Delta })$ d'équation $y=0$ comme asymptote horizontale au voisinage de $+\mathrm{\infty }$.
5. soit $x\in \mathbb{R}$ on a: $$\begin{array}{cll}{f}^{\prime }(x)& =& {(\sqrt{x^2+1}-x)}^{\prime }\\ \\ & =& {\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }-{\left(x\right)}^{\prime }\\ \\ & =& \frac{(x^2+1{)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+1}}-1\\ \\ & =& \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}-1\\ \\ & =& \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1\\ \\ & =& \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\\ \\ & =& \frac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\\ \\ & =& -\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}\\ \\ alors{f}^{\prime }(x)& =& -\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+1}}\end{array}$$
6. on a $f^{\prime }(x)=-\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+1}}$ et pour tout $x\in \mathbb{R}$ $f(x)>0$ et $\sqrt{x^2+1}>0$ donc : $$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R};f^{\prime }(x)<0$$ on déduit que la fonction $f$ est strictement décroissante. $$

   

   le tableau de variations de $f$

7. soit $(T)$ la tangente de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ en $x=0$, l'équation de $(T)$ est : $$y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)$$ avec $f(0)=\sqrt{0^2+1}-0=1$ et $f^{\prime }(0)=-\frac{f(0)}{\sqrt{0^2+1}}=-1$ $$ finalement $(T):y=-x+1$.
8. pour la position de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et $(T)$ , on a: $$f(x)-(-x+1)=\sqrt{x^2+1}-x+x-1\sqrt{x^2+1}-1$$ or $\sqrt{x^2+1}>1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ on déduit que $f(x)>(-x+1)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ $$ par conséquence $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est au dessus de $(T)$.
9. la courbe de $f$ est la suivante:

   

   la courbe de $f$