Tronc commun biof | Série d'exercices | Généralités sur les fonctions

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Exercice 1

On considère la fonction numérique $f$ définit par $f(x)=\sqrt{x-5}+\frac{2x}{x^2-17x+70}$

1. Évaluer l'image de chacun des nombres suivants $9$ ,$30$.
2. peut-on évaluer l'image de $4$ puis $1$ et $7$?, justifier votre réponse.
3. Déterminer le domaine de définition de $f$.

Exercice 2

Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ dans les cas suivants:

1. $f(x)=\frac{3x+1}{x^2-2x}$
2. $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+4x}}{3}$
3. $f(x)=x^3+2x+1$
4. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

Exercice 3

1. Montrer que la fonction $f$ définit par $f(x)=x^2+1$ est décroissante sur $]-\mathrm{\infty };0]$ et croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.
2. Montrer que la fonction $g$ définit par $g(x)=\frac{1}{x-1}+1$ est décroissante sur chacun des intervalle $]-\mathrm{\infty };1[$ et $]1;+\mathrm{\infty }[$

Exercice 4

Calculer le taux de variations des fonction définit comme suit: $$f(x)=2x-5;g(x)=-4x+7$$ $$k(x)=4x^2-1;h(x)=5x^2-3x+4$$ $$F(x)=\sqrt{x}+5$$ $$G(x)=\sqrt{2x-3};K(x)=\frac{x-2}{3x+4}$$

Exercice 5

Soit $f$ la fonction définit sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-3x+1$.

1. Déterminer le taux de variations de $f$.
2. Etudier la monotonie de $f$ sur chacun des intervalles $]-\mathrm{\infty };\frac{3}{4}]$ et $[\frac{3}{4};+\mathrm{\infty }[$.
3. Poser la table de variations de $f$
4. Calculer l'image de $1$ et $2$.
5. En déduire que si $1\le x\le 2$ alors $0\le f(x)\le 3$

Exercice 6

Étudier la parité des fonctions définit par :$$f(x)=x^2+1,f(x)=x^3+x$$  $$f(x)=x^5+x,f(x)=\frac{x^2+3}{|x|-1}$$

Exercice 7

on considère la fonction $f$ définit par $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$.

1. Vérifier que $f$ est définit sur $\mathbb{R}$.
2. Étudier la parité de $f$.
3. Étudier les variations de $f$ sur $[0;1]$ et sur $[1;+\mathrm{\infty }[$
4. En déduire le tableau de variation de $f$, puis déterminer les valeurs maximales et minimales de $f$