Limite d'une suite numérique... un résumé de cours

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Limite d'une suite numérique - résumé

Limite d'une suite numérique

Limite finie d'une suite numérique

Soit ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ une suite numérique et $l$ un nombre réel, on dit que $l$ est la limite de la suite ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ si "à chaque fois que $n$ prend de grandes valeurs $U_n$ prend des valeurs proche de $l$". dans ce cas on écrit: $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{U}_n=l$$

exemple

1. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$
2. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}=0$
3. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^p}=0;p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Limite infinie d'une suite numérique

Soit ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ une suite numérique , on dit que la limite de la suite ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ est $+\mathrm{\infty }$ si "à chaque fois que $n$ prend de grandes valeurs $U_n$ prend aussi de grandes valeurs". dans ce cas on écrit: $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{U}_n=+\mathrm{\infty }$$

exemple

1. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n=+\mathrm{\infty }$
2. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=+\mathrm{\infty }$
3. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[p]{n}=+\mathrm{\infty };p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
4. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{n}^p=+\mathrm{\infty };p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

remarque

• les propriété des limites des fonctions restent valables pour les limites des suites numériques.
• les formes indéterminées en cas des fonctions restent indéterminées en cas des suites .

définition

• si la suite ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ admet une limite finie on dit qu'elle est convergente.
• si la suite ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ n'admet pas de limite ou admet une limite infinis on dit qu'elle est divergente .

• toute suite constante est convergente..
• la suite définie par $u_n=1+\frac{1}{n}$ est convergente de limite $l=1$.
• la suite définie par $u_n=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}+2$ est convergente de limite $l=2$.
• la suite définie par $u_n=1+n^2$ est divergente de limite $+\mathrm{\infty }$.
• la suite définie par $u_n=-n^2+\sqrt{n}$ est divergente de limite $-\mathrm{\infty }$.
• la suite définie par $u_n=(-1{)}^n$ est divergente , elle n'admet pas de limite.

Critères de convergence d'une suite

proposition

Soient $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$ deux suites numériques, avec $\mathrm{\forall }n\ge n_0{U}_n\le V_n$, alors :

• si $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{U}_n=+\mathrm{\infty }$ alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{V}_n=+\mathrm{\infty }$.
• si $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{V}_n=-\mathrm{\infty }$ alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{U}_n=-\mathrm{\infty }$.

proposition

Soit $\left(U_n\right)$ , $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ trois suites numériques, avec $\mathrm{\forall }n\ge n_0{a}_n\le U_n\le b_n$, alors si $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$$ en déduit que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$. 

$$ 

 Montrons que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin (n^2+n)}{n}=0$. $$ on sait que $(\mathrm{\forall }n\ge 1)$ on a : $-1\le \sin (n^2+n)\le 1$ $$ par suite :$(\mathrm{\forall }n\ge 1)$ on a : $\frac{-1}{n}\le \frac{\sin (n^2+n)}{n}\le \frac{1}{n}$ $$ or $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1}{n}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$$ en déduit que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin (n^2+n)}{n}=0$

proposition

soit $q\in \mathbb{R}$ on a les cas suivants:

• si $q>1$ alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{q}^n=+\mathrm{\infty }$.
• si $q\le -1$ alors la suite $(q^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ n'admet pas de limite.
• si $-1<q<1$ alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{q}^n=0$

• la suite définie par $u_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ est convergente de limite $l=0$.
• la suite définie par $u_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n+2$ est convergente de limite $l=2$.
• la suite définie par $u_n=(2{)}^n$ est divergente de limite $+\mathrm{\infty }$.
• la suite définie par $u_n=-(2{)}^n+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ est divergente de limite $-\mathrm{\infty }$.
• la suite définie par $u_n=(-2{)}^n$ est divergente , elle n'admet pas de limite

proposition

soit ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ une suite arithmétique de raison $r$, on a:

• si $r>0$, alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{U}_n=+\mathrm{\infty }$.
• si $r<0$ alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{U}_n=-\mathrm{\infty }$.

proposition

Soient ${\left(U_n\right)}_{n\ge n_0}$ et ${\left(V_n\right)}_{n\ge n_0}$ deux suites numériques et $l\in \mathbb{R}$ avec $\mathrm{\forall }n\ge n_0|U_n-l|\le V_n$, alors : si $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{V}_n=0$, on déduit que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{U}_n=l$.

proposition

• Si $\left(U_n\right)$ est une suite numérique croissante et majorée alors elle est convergente.
• Si $\left(U_n\right)$ est une suite numérique décroissante et minorée alors elle est convergente.

proposition

Soit $f$ une fonction définit sur un intervalle $I$ $$ on considère la suite numérique définit par : $$u_{n_0}\in I;u_{n+1}=f(u_n)$$ si :

• $f$ est continue sur $I$.
• $f(I)\subset I$ .
• la suite $(u_n{)}_{n\ge n_0}$ est convergente.

alors la limite de la suite $(u_n{)}_{n\ge n_0}$ est la solution dans l'intervalle $I$ de l'équation: $f(x)=x$