La dérivabilité d'une fonction
La dérivabilité d'une fonction en un point
définition
soit une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant , on dit que est dérivable en si : dans ce cas le nombre est dit le nombre dérivé de en et se note c'est à dire que dans le cas où la limite précédente n 'existe pas ou infini on dit que n'est pas dérivable en .
exemple
etudier la dérivabilité de la fonction en dans les cas suivants:
- et
- et
correction
- pour le premier cas , on a : et donc est dérivable en et on a
- pour le deuxième cas on a : On distingue deux cas : et : donc la fonction n'est pas dérivable en
La dérivabilité à gauche et à droite d'une fonction en un point
définition
soit une fonction définit sur un intervalle de type , on dit que est dérivable a droite en si : dans ce cas le nombre est dit le nombre dérivé à droite de en et se note c'est à dire que soit une fonction définit sur un intervalle de type , on dit que est dérivable a gauche en si : dans ce cas le nombre est dit le nombre dérivé à gauche de en et se note c'est à dire que
remarque
soit une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant , alors: est dérivable en si et seulement si est dérivable à droite et dérivable à gauche en et si de plus . \end{remarque} \subsection{L'interprétation géométrique de la dérivabilité en un point} soit une fonction dérivable en et sa courbe dans repère orthonormé on a :
- admet la droite d'équation comme tangente au point
- si est dérivable en à droite , alors admet la droite d'équation comme une demi-tangente à droite du point
- si est dérivable en à gauche , alors admet la droite d'équation comme une demi-tangente à gauche du point
exemple
On a déjà vu que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en et c'est grâce à cela que sa courbe montre une irrégularité en comme le montre la figure suivante
 |
une fonction non dérivable |
La fonction affine tangente
soit une fonction dérivable en . La fonction définit par est dite fonction affine tangente à au voisinage de . cela veut dire :" plus est proche de plus que est proche de ". on a :
exemple
on considère la fonction définit par .
- déterminer la fonction affine tangente à au voisinage de .
- en déduire une approximation de .
correction
- on a et : donc : donc : comme est dérivable en elle admet une fonction affine tangente en donné par:
- on a or alors donc :