La dérivabilité d'une fonction partie 1

La dérivabilité d'une fonction

La dérivabilité d'une fonction en un point

définition

soit $f $ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $ x_0 $, on dit que $f $ est dérivable en $ x_0 $ si : $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=l \in \mathbb{R} $$ dans ce cas le nombre $l$ est dit le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et se note $f'(x_0)$ c'est à dire que $f'(a)=l$$\\$ dans le cas où la limite précédente n 'existe pas ou infini on dit que $f$ n'est pas dérivable en $x_0$.

exemple

etudier la dérivabilité de la fonction $f$ en $x_0$ dans les cas suivants:

1. $f(x)=2x^2-1$ et $x_0=1$
2. $f(x)=\vert x\vert$ et $x_0=0$

correction

1. pour le premier cas , on a :$f(x)=2x^2-1$ et $x_0=1$ $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x^2-1-1}{x-1} =\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x^2-2}{x-1} =\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2(x^2-1)}{x-1}==\lim_{x \rightarrow 1} 2(x+1)= 4$$ donc $f$ est dérivable en $x_0=1$ et on a $f'(1)=4$
2. pour le deuxième cas on a : $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\vert x \vert-0}{x-0} =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\vert x \vert}{x}$$ On distingue deux cas : $$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\vert x \vert}{x}=\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{ x }{x}=1$$ et : $$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\vert x \vert}{x}=\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{ - x }{x}=-1$$ donc la fonction $f$ n'est pas dérivable en $x_0=0$

La dérivabilité à gauche et à droite d'une fonction en un point

définition

soit $f $ une fonction définit sur un intervalle de type $\left[ x_0;x_0+r\right[ $, on dit que $f $ est dérivable a droite en $ x_0 $ si : $$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=l \in \mathbb{R} $$ dans ce cas le nombre $l$ est dit le nombre dérivé à droite de $f$ en $x_0$ et se note $f'_d(x_0)$ c'est à dire que $f'_d(a)=l$$\\$ soit $f $ une fonction définit sur un intervalle de type $\left] x_0-r;x_0\right] $, on dit que $f $ est dérivable a gauche en $ x_0 $ si : $$ \lim_{x \rightarrow x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=l \in \mathbb{R} $$ dans ce cas le nombre $l$ est dit le nombre dérivé à gauche de $f$ en $x_0$ et se note $f'_g(x_0)$ c'est à dire que $f'_g(a)=l$

remarque

soit $f $ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $ x_0 $, alors: $f $ est dérivable en $ x_0 $ si et seulement si $f $ est dérivable à droite et dérivable à gauche en $ x_0 $ et si de plus $f'_d(x_0)=f'_g(x_0)$. \end{remarque} \subsection{L'interprétation géométrique de la dérivabilité en un point} soit $f $ une fonction dérivable en $ x_0$ et $\left( \mathcal{C}_f \right) $ sa courbe dans repère orthonormé $\\$ on a :

1. $\left( \mathcal{C}_f \right) $ admet la droite d'équation $ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ comme tangente au point $\left( x_0;f(x_0) \right) $
2. si $f$ est dérivable en $ x_0$ à droite , alors $\left( \mathcal{C}_f \right) $ admet la droite d'équation $ y=f'_d(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ comme une demi-tangente à droite du point $\left( x_0;f(x_0) \right) $
3. si $f$ est dérivable en $ x_0$ à gauche , alors $\left( \mathcal{C}_f \right) $ admet la droite d'équation $ y=f'_g(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ comme une demi-tangente à gauche du point $\left( x_0;f(x_0) \right) $

exemple

On a déjà vu que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$ et c'est grâce à cela que sa courbe montre une irrégularité en $x_0=0$ comme le montre la figure suivante $\\$

une fonction non dérivable

La fonction affine tangente

soit $f $ une fonction dérivable en $ x_0$. La fonction $h$ définit par $h(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ est dite fonction affine tangente à $f$ au voisinage de $x_0$. $\\$ cela veut dire :" plus $x$ est proche de $x_0$ plus que $h(x)$ est proche de $f(x)$". on a : $$ x \simeq x_0 \Rightarrow f(x) \simeq h(x)$$

exemple

on considère la fonction $f$ définit par $f(x)=\sqrt[3]{1+x}$.

1. déterminer la fonction affine tangente à $f$ au voisinage de $0$.
2. en déduire une approximation de $\sqrt[3]{1.222}$.

correction

1. on a $f(x)=\sqrt[3]{1+x}$ et : $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \left(\sqrt[3]{1+x}-1 \right) \left( \sqrt[3]{1+x}^2+\sqrt[3]{1+x} +1 \right)}{x \left( \sqrt[3]{1+x}^2+\sqrt[3]{1+x} +1 \right) } $$ donc : $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}^3-1^3}{x \left( \sqrt[3]{1+x}^2+\sqrt[3]{1+x} +1 \right) }=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x \left( \sqrt[3]{1+x}^2+\sqrt[3]{1+x} +1 \right) } $$ donc : $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}^3-1^3}{x \left( \sqrt[3]{1+x}^2+\sqrt[3]{1+x} +1 \right) }=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{ \sqrt[3]{1+x}^2+\sqrt[3]{1+x} +1 }=\frac{1}{3} $$ comme $f$ est dérivable en $x_0=0$ elle admet une fonction affine tangente en $x_0=0$ donné par: $$h(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\frac{1}{3}(x-0)+f(0)=\frac{1}{3}x+1$$
2. on a $\sqrt[3]{1.222}=\sqrt[3]{1+0.222}=f(0.222)$ $\\$ or $0.222 \simeq 0$ alors $f(0.222)\simeq h(0.222)$ $\\$ donc : $$\sqrt[3]{1.222}\simeq h(0.222) =\frac{1}{3}0.222+1=0.074+1=1.074$$