La dérivabilité d'une fonction partie 1

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La dérivabilité d'une fonction

La dérivabilité d'une fonction en un point

définition

soit $f$ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $x_0$, on dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si : $$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=l\in \mathbb{R}$$ dans ce cas le nombre $l$ est dit le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et se note $f^{\prime }(x_0)$ c'est à dire que $f^{\prime }(a)=l$$$ dans le cas où la limite précédente n 'existe pas ou infini on dit que $f$ n'est pas dérivable en $x_0$.

exemple

etudier la dérivabilité de la fonction $f$ en $x_0$ dans les cas suivants:

1. $f(x)=2x^2-1$ et $x_0=1$
2. $f(x)=|x|$ et $x_0=0$

correction

1. pour le premier cas , on a :$f(x)=2x^2-1$ et $x_0=1$ $$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{2x^2-1-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{2x^2-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{2(x^2-1)}{x-1}==\underset{x\to 1}{lim}2(x+1)=4$$ donc $f$ est dérivable en $x_0=1$ et on a $f^{\prime }(1)=4$
2. pour le deuxième cas on a : $$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x|-0}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x|}{x}$$ On distingue deux cas : $$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{|x|}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x}{x}=1$$ et : $$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{|x|}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-x}{x}=-1$$ donc la fonction $f$ n'est pas dérivable en $x_0=0$

La dérivabilité à gauche et à droite d'une fonction en un point

définition

soit $f$ une fonction définit sur un intervalle de type $[x_0;x_0+r[$, on dit que $f$ est dérivable a droite en $x_0$ si : $$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=l\in \mathbb{R}$$ dans ce cas le nombre $l$ est dit le nombre dérivé à droite de $f$ en $x_0$ et se note $f_d^{\prime }(x_0)$ c'est à dire que $f_d^{\prime }(a)=l$$$ soit $f$ une fonction définit sur un intervalle de type $]x_0-r;x_0]$, on dit que $f$ est dérivable a gauche en $x_0$ si : $$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=l\in \mathbb{R}$$ dans ce cas le nombre $l$ est dit le nombre dérivé à gauche de $f$ en $x_0$ et se note $f_g^{\prime }(x_0)$ c'est à dire que $f_g^{\prime }(a)=l$

remarque

soit $f$ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $x_0$, alors: $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si $f$ est dérivable à droite et dérivable à gauche en $x_0$ et si de plus $f_d^{\prime }(x_0)=f_g^{\prime }(x_0)$. \end{remarque} \subsection{L'interprétation géométrique de la dérivabilité en un point} soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$ et $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe dans repère orthonormé $$ on a :

1. $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet la droite d'équation $y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ comme tangente au point $(x_0;f(x_0))$
2. si $f$ est dérivable en $x_0$ à droite , alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet la droite d'équation $y=f_d^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ comme une demi-tangente à droite du point $(x_0;f(x_0))$
3. si $f$ est dérivable en $x_0$ à gauche , alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet la droite d'équation $y=f_g^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ comme une demi-tangente à gauche du point $(x_0;f(x_0))$

exemple

On a déjà vu que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$ et c'est grâce à cela que sa courbe montre une irrégularité en $x_0=0$ comme le montre la figure suivante $$

une fonction non dérivable

La fonction affine tangente

soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$. La fonction $h$ définit par $h(x)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ est dite fonction affine tangente à $f$ au voisinage de $x_0$. $$ cela veut dire :" plus $x$ est proche de $x_0$ plus que $h(x)$ est proche de $f(x)$". on a : $$x\simeq x_0\Rightarrow f(x)\simeq h(x)$$

exemple

on considère la fonction $f$ définit par $f(x)=\sqrt[3]{1+x}$.

1. déterminer la fonction affine tangente à $f$ au voisinage de $0$.
2. en déduire une approximation de $\sqrt[3]{1.222}$.

correction

1. on a $f(x)=\sqrt[3]{1+x}$ et : $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sqrt[3]{1+x}-1)({\sqrt[3]{1+x}}^2+\sqrt[3]{1+x}+1)}{x({\sqrt[3]{1+x}}^2+\sqrt[3]{1+x}+1)}$$ donc : $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sqrt[3]{1+x}}^3-1^3}{x({\sqrt[3]{1+x}}^2+\sqrt[3]{1+x}+1)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{x({\sqrt[3]{1+x}}^2+\sqrt[3]{1+x}+1)}$$ donc : $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sqrt[3]{1+x}}^3-1^3}{x({\sqrt[3]{1+x}}^2+\sqrt[3]{1+x}+1)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{{\sqrt[3]{1+x}}^2+\sqrt[3]{1+x}+1}=\frac{1}{3}$$ comme $f$ est dérivable en $x_0=0$ elle admet une fonction affine tangente en $x_0=0$ donné par: $$h(x)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\frac{1}{3}(x-0)+f(0)=\frac{1}{3}x+1$$
2. on a $\sqrt[3]{1.222}=\sqrt[3]{1+0.222}=f(0.222)$ $$ or $0.222\simeq 0$ alors $f(0.222)\simeq h(0.222)$ $$ donc : $$\sqrt[3]{1.222}\simeq h(0.222)=\frac{1}{3}0.222+1=0.074+1=1.074$$