Série d'exercices | Limites et Continuité | 2BAC scientifique

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Limites et Continuité

Exercice 1

Évaluer les limites suivantes : $$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt{x}sin(\frac{1}{\sqrt{x}});\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{4x^2+1}-2x$$ $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{4x^2+1}-x;\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{lim}\frac{cos(x)-\sqrt{3}sin(x)}{x-\frac{\pi }{6}}$$ $$\underset{x\to 0}{lim}{x}^{2}cos(\frac{1}{x})+x;\underset{x\to 1}{lim}\frac{sin(3x-3)}{sin(x-1)}$$

Exercice 2

Soit $f$ la fonction numérique définit par : $$\{\begin{array}{rcl}f(x)& =& \frac{x^2+x-a}{x-2}(x>2)\\ f(x)& =& \frac{2x+b}{3}(x\le 2)\end{array}$$ Déterminer les deux nombres $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en $x=2$.

Exercice 3

Déterminer l'image de l'intervalle $I$ par la fonction $f$ dans les cas suivants:

1. $f(x)=5x+1$ et $I=[2;5]$
2. $f(x)=x^2+3$ et $I=[2;+\mathrm{\infty }[$
3. $f(x)=\frac{3x+1}{2x-1}$ et $I=]\frac{1}{2};+\mathrm{\infty }$

Exercice 4

Soit $f$ la fonction définit sur $I=]\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }$ par: $$f(x)=\frac{x+1}{2x-3}$$

1. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
2. Déterminer $f^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$.

Exercice 5

Soit $g$ la fonction définit sur $I=]\frac{1}{4};+\mathrm{\infty }[$ par: $$f(x)=2x^2-x+1$$

1. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
2. Déterminer $g^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$.

Exercice 6

Soit $f$ la fonction définit sur ${\mathbb{R}}^{+}$ par: $$f(x)=2+\sqrt[3]{x}$$

1. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
2. Déterminer $f^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$.
3. tracer $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et $\left({\mathcal{C}}_{f^{-1}}\right)$ dans un même repère orthonormé.

Exercice 7

Ordonner les nombres suivants dans un ordre croissant : $$\sqrt[12]{100};\sqrt[9]{80};\sqrt[4]{15};\sqrt[3]{28};\sqrt{13}$$ et puis : $$\sqrt[20]{253};\sqrt[15]{151};\sqrt[5]{23};\sqrt[10]{(24{)}^2}$$

Exercice 8

Évaluer les deux nombres suivants: $$A=\frac{\sqrt[4]{9}\sqrt{\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9}}}{\sqrt[5]{81}.\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}}}};B=\frac{\sqrt[3]{4}\sqrt{8}{\left(\sqrt[5]{\sqrt{2}}\right)}^2}{\sqrt{\sqrt[3]{4}}}$$

Exercice 9

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante: $$\sqrt{x^2-4}=x-2\sqrt{x^2-1}$$

Exercice 10

Calculer les limites suivantes: $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x};\underset{x\to 2}{lim}\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{6-x}}{x-2}$$ $$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x}-1}$$