Etude de Fonctions réciproques
problème
on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=\left]-\infty;+\infty \right[$ par : $$f(x)=3x+4$$
- déterminer le sens de variations de $f$.
- en déduire que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
- déterminer $f^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$.
Correction
- La fonction $f$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=3$ qui strictement positif , donc $f$ est strictement croissante sur $I=\left]-\infty;+\infty \right[$ .
- la fonction $f$ est une fonction polynomiale , donc elle est continue sur $I=\left]-\infty;+\infty \right[$. \\ Puisque $f$ est continue et strictement croissante sur $I=\left]-\infty;+\infty \right[$, alors elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ vers $I$ , avec : $$ J=f(I)=f(\left]-\infty;+\infty \right[)$$ comme $f$ est croissante on a: $$f(\left]-\infty;+\infty \right[)=\left]\lim_{x \to -\infty} f(x);\lim_{x \to +\infty}f(x) \right[$$ or $\lim_{x \to -\infty} f(x)=3 \times -\infty =-\infty $ \\ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)=3 \times +\infty =+\infty $ \\ on conclut que $J=\left]-\infty;+\infty \right[$
- déterminons $f^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$ \\ pour chercher $f^{-1}(y)$ on va la noter $x$ et on la met dans une équation à résoudre Soient $y \in J$ et $x \in I$ , alors : \begin{array}{c c l} f^{-1}(y)=x & \Longleftrightarrow & y=f(x) \\ & \Longleftrightarrow & y=3x+4 \\ & \Longleftrightarrow & y-4=3x \\ & \Longleftrightarrow & \frac{y-4}{3}=x \end{array} On conclut alors que $ \left( \forall y \in J \right) $ on a $f^{-1}(y)=\frac{y-4}{3}$ Finalement la fonction réciproque de $f$ est définit par: \begin{array}{c c l} f^{-1}:\left]-\infty;+\infty \right[ & \mapsto & \left]-\infty;+\infty \right[ \\ x & \mapsto & \frac{x-4}{3} \end{array}
problème
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $I=\left]2;+\infty \right[$ par : $$g(x)=\frac{x+1}{3x-6}$$
- déterminer le sens de variations de $g$ sur $I$.
- en déduire que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
- déterminer $g^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$.
Correction
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $I=\left]2;+\infty \right[$ par : $$g(x)=\frac{x+1}{3x-6}$$
- remarquons que $g$ est une fonction homographique de determinant $D=$ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & -6 \end{array} donc $D=1.(-6)-3.1=-6-3=-9 < 0$ donc g est strictement décroissante sur $I$ .
- on a $g$ est une fonction fractionnelle , donc elle est continue sur tous intervalle inclut dans son domaine de définition et comme $I$ inclut dans son domaine( qui est $\mathbb{R}\smallsetminus{2}$ ) alors $g$ est continue sur $I$. $\\$ comme $g$ est continue et strictement décroissante sur $I$ alors elle admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ vers $I$, avec : $$ J=g(I)=g(\left]2;+\infty \right[)$$ et comme $g$ est décroissante alors :$$f(I)= \left] \lim{x \to +\infty } g(x);\lim_{x \to 2^+}g(x) \right[ $$ par un simple calcule on aura : $$ \lim{x \to +\infty } g(x)=\lim{x \to +\infty }\frac{x+1}{3x-6}=\frac{1}{3} $$ et $$\lim{x \to 2^+ } g(x)=\lim{x \to 2^+ }\frac{x+1}{3x-6}=+\infty $$ finalement $J=\left]\frac{1}{3};+\infty \right[$ .
- déterminons $g^{-1}(y)$ pour $y\in J$. $\\$ pour chercher $g^{-1}(y)$ on va suivre la même démarche que le problème précédent. $\\$ Soient $y \in J$ et $x \in I$ , alors : \begin{array}{c c l} g^{-1}(y)=x & \Longleftrightarrow & y=g(x) \\ & \Longleftrightarrow & y=\frac{x+1}{3x-6} \\ & \Longleftrightarrow & y(3x-6)=x+1 \\ & \Longleftrightarrow & 3xy-6y=x+1\\ & \Longleftrightarrow & 3xy-x=1+6y\\ & \Longleftrightarrow & x(3y-1)=1+6y\\ & \Longleftrightarrow & x=\frac{1+6y}{3y-1}\\ \end{array} On conclut alors que $ \left( \forall y \in J \right) $ on a $g^{-1}(y)=\frac{1+6y}{3y-1}$ Finalement la fonction réciproque de $g$ est définit par: \begin{array}{c c l} g^{-1}:\left]\frac{1}{3};+\infty \right[ & \mapsto & \left]2;+\infty \right[ \\ x & \mapsto & \frac{1+6y}{3y-1} \end{array}
problème
on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=\left]2;+\infty \right[$ par : $$f(x)=x-1-\frac{2}{x}$$
- déterminer le sens de variations de $f$.
- en déduire que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
- déterminer $f^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$.
correction
on a $I=\left]2;+\infty \right[$ et $\left( \forall x \in I \right), f(x)=x-1-\frac{2}{x}$.
- soit $x$ et $x'$ deux éléments de $I$ avec $x< x'$. $\\$ on a $ x< x' \Rightarrow \frac{2}{x} > \frac{2}{x'}$ $\\$ donc $-\frac{2}{x} < - \frac{2}{x'} \Rightarrow -1-\frac{2}{x} < -1-\frac{2}{x'}$ $\\$ alors $x-1-\frac{2}{x} < x'-1-\frac{2}{x'}$ d'où $f$ est strictement croissante sur $I$.
- il est claire que la fonction $f$ est continue sur $I$ come étant la somme de fonctions continues sur $I$, de plus elle est strictement croissante d'après la question précedente. $\\$ on conclut qu'elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$. avec :$\\$ $$J=f(I)=f\left( \left]2;+\infty \right[\right)$$ donc $$J= \left]\lim_{x\to 2 }f(x);\lim_{x \to +\infty} f(x) \right[= \left]2;+\infty \right[$$
- déterminons $f^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$. soit $y \in J$ et $x\in I$, on a: \[ \left. \begin{array}{c c l} f^{-1}(y)=x & \Longleftrightarrow & y=f(x) \\ \\ & \Longleftrightarrow & y=x-1-\frac{2}{x} \\ \\ & \Longleftrightarrow & yx=x^2-x-2 \\ \\ & \Longleftrightarrow & x^2-(1+y)x-2=0 \end{array} \right. \] nous sommes à la recherche de $x$ vérifiant la dernière équations qui est une équation algébrique de degré $2$. $\\$ pour cella on calcule le discriminant $\Delta$. $$\Delta=(1+y)^2-4.(-2)=(1+y)^2+8 > 0$$ alors l'équation admet deux solution distinct qui sont : $$ x_1=\frac{(1+y)+\sqrt{(1+y)^2+8}}{2}$$ et $$ x_2=\frac{(1+y)-\sqrt{(1+y)^2+8}}{2}$$ laquelle des solutions faut-il choisir ? $\\$ généralement pour répondre à cette question on cherche à prouver que $x_1 \in I$ et $x_2 \notin I$ dans ce cas on va choisir $x_1$ ou de prouver que $x_2 \in I$ et $x_1 \notin I$ dans ce cas on va choisir $x_2$. $\\$ $\\$ nous avons que $$ \lim_{x\to +\infty } f(x)=+\infty $$ donc il faut que $$ \lim_{y\to +\infty } f^{-1}(y)=+\infty $$ pour $x_2$ , on a : $$ \lim_{y\to +\infty }\frac{(1+y)-\sqrt{(1+y)^2+8}}{2} =\lim_{y\to +\infty }\frac{(1+y)^2-((1+y)^2+8)}{2\left( (1+y)+\sqrt{(1+y)^2+8}\right) }$$ donc $$ \lim_{y\to +\infty }\frac{(1+y)-\sqrt{(1+y)^2+8}}{2} =\lim_{y\to +\infty }\frac{-8}{2\left( (1+y)+\sqrt{(1+y)^2+8}\right) }=0$$ don $x_2$ n'est pas la bonne solution, donc c'est $x_1$ qui convient. $\\$ finalement $$ \left( \forall y \in J \right) , f^{-1}(y)=\frac{(1+y)+\sqrt{(1+y)^2+8}}{2}$$
- on peut montrer que $x_2 \notin J$ $\\$ pour cella il suffit de monter que $x_2 < 0$. on sait que $(1+y)^2 < (1+y)^2+8 $ donc $$\sqrt{(1+y)^2} < \sqrt{(1+y)^2+8} $$ or $ (1+y) < 0 \Rightarrow \sqrt{(1+y)^2}=(1+y)$, donc $$(1+y) < \sqrt{(1+y)^2+8} \Rightarrow (1+y) - \sqrt{(1+y)^2+8} < 0$$ donc $$x_2=\frac{(1+y)-\sqrt{(1+y)^2+8}}{2} < 0$$ on déduit que $x_2 \notin J$.
problème
on considère la fonction $g$ définit sur $I=[4;+\infty[$ par: $$ g(x)= 2x-1+\sqrt{x-4}$$
- vérifier que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
- déterminer $g^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$.
correction
- la fonction $g$ est continue sur $I$ ( comme étant somme et composée de fonctions continues) et elle est strictement croissante ( par encadrement $ x < x' \Rightarrow g(x) < g(x')$) . $\\$ on déduit que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définit sur un intervalle $J$, avec : $$J = g(I)=g\left( \left[ 4;+\infty \right[ \right) $$ donc $$J =\left( \left[g(4); \lim_{x \to +\infty } g(x) \right[ \right)=[7;+\infty[ $$
- déterminons $g^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$. soit $y \in J$ et $x\in I$, on a: \[ \left. \begin{array}{c c l} g^{-1}(y)=x & \Longleftrightarrow & y=g(x) \\ \\ & \Longleftrightarrow & y=2x-1+\sqrt{x-4} \\ \\ & \Longleftrightarrow & y-8=2x-8-1+\sqrt{x-4} \\ \\ & \Longleftrightarrow &y-8=2(x-4)-1+\sqrt{x-4} \\ \\ & \Longleftrightarrow &y-7=2(x-4)+\sqrt{x-4} \\ \\ & \Longleftrightarrow &2(x-4)+\sqrt{x-4}-(y-7)=0 \\ \\ \end{array} \right. \] par changement de variable on pose $X=\sqrt{x-4}$ donc $X$ doit toujours être positif. l'équation est devenue : $$2X^2+X-(y-7)=0$$ le discriminant de cette équation est : $\Delta=1+8(y-7)$ et $y\geq 7 \Rightarrow \Delta >0$ donc l'équation a deux solutions : $$X_1=\frac{-1-\sqrt{\Delta}}{4} ; X_2=\frac{-1+\sqrt{\Delta}}{4} $$ on remarque que $X_1 < 0$ ce qui n'est pas possible car $X=\sqrt{x-4}$. $\\$ on déduit que $X_2=\frac{-1+\sqrt{\Delta}}{4} $ or : $$X=\sqrt{x-4}\Rightarrow X^2=x-4 \Rightarrow x=X^2+4$$ finalement $$x=\left( \frac{-1+\sqrt{\Delta}}{4}\right)^2+4$$ où $\Delta=1+8y-56=8y-55$ donc $$x=\left( \frac{-1+\sqrt{8y-55}}{4}\right)^2+4$$ c'est à dire que :$$x= \frac{1-2\sqrt{8y-55}+(8y-55)}{16}+4$$ c'est à dire que :$$x=\frac{8y-2\sqrt{8y-55}-54}{16}+4$$ qu'on peut écrire sous :$$x=\frac{8y-2\sqrt{8y-55}+10}{16}$$ on conclut que $$ \left( \forall y \in J \right) , g^{-1}(y)=\frac{8y-2\sqrt{8y-55}+10}{16}$$
