Problèmes corrigés sur les fonctions réciproques

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 Etude de Fonctions réciproques

problème

on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=]-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }[$ par : $$f(x)=3x+4$$

1. déterminer le sens de variations de $f$.
2. en déduire que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
3. déterminer $f^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$.

Correction

1. La fonction $f$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=3$ qui strictement positif , donc $f$ est strictement croissante sur $I=]-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }[$ .
2. la fonction $f$ est une fonction polynomiale , donc elle est continue sur $I=]-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }[$. \ Puisque $f$ est continue et strictement croissante sur $I=]-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }[$, alors elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ vers $I$ , avec : $$J=f(I)=f(]-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }[)$$ comme $f$ est croissante on a: $$f(]-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }[)=]\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x);\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)[$$ or $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=3\times -\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }$ \ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=3\times +\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }$ \ on conclut que $J=]-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }[$
3. déterminons $f^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$ \ pour chercher $f^{-1}(y)$ on va la noter $x$ et on la met dans une équation à résoudre Soient $y\in J$ et $x\in I$ , alors : $$\begin{array}{ccl}{f}^{-1}(y)=x& ⟺& y=f(x)\\ & ⟺& y=3x+4\\ & ⟺& y-4=3x\\ & ⟺& \frac{y-4}{3}=x\end{array}$$ On conclut alors que $(\mathrm{\forall }y\in J)$ on a $f^{-1}(y)=\frac{y-4}{3}$ Finalement la fonction réciproque de $f$ est définit par: $$\begin{array}{ccl}{f}^{-1}:]-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }[& \mapsto & ]-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }[\\ x& \mapsto & \frac{x-4}{3}\end{array}$$

problème

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $I=]2;+\mathrm{\infty }[$ par : $$g(x)=\frac{x+1}{3x-6}$$

1. déterminer le sens de variations de $g$ sur $I$.
2. en déduire que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
3. déterminer $g^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$.

Correction

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $I=]2;+\mathrm{\infty }[$ par : $$g(x)=\frac{x+1}{3x-6}$$

1. remarquons que $g$ est une fonction homographique de determinant $D=$ $$\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& -6\end{array}$$ donc $D=1.(-6)-3.1=-6-3=-9<0$ donc g est strictement décroissante sur $I$ .
2. on a $g$ est une fonction fractionnelle , donc elle est continue sur tous intervalle inclut dans son domaine de définition et comme $I$ inclut dans son domaine( qui est $\mathbb{R}\setminus 2$ ) alors $g$ est continue sur $I$. $$ comme $g$ est continue et strictement décroissante sur $I$ alors elle admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ vers $I$, avec : $$J=g(I)=g(]2;+\mathrm{\infty }[)$$ et comme $g$ est décroissante alors :$$f(I)=]limx\to +\mathrm{\infty }g(x);\underset{x\to 2^{+}}{lim}g(x)[$$ par un simple calcule on aura : $$limx\to +\mathrm{\infty }g(x)=limx\to +\mathrm{\infty }\frac{x+1}{3x-6}=\frac{1}{3}$$ et $$limx\to 2^{+}g(x)=limx\to 2^{+}\frac{x+1}{3x-6}=+\mathrm{\infty }$$ finalement $J=]\frac{1}{3};+\mathrm{\infty }[$ .
3. déterminons $g^{-1}(y)$ pour $y\in J$. $$ pour chercher $g^{-1}(y)$ on va suivre la même démarche que le problème précédent. $$ Soient $y\in J$ et $x\in I$ , alors : $$\begin{array}{ccl}{g}^{-1}(y)=x& ⟺& y=g(x)\\ & ⟺& y=\frac{x+1}{3x-6}\\ & ⟺& y(3x-6)=x+1\\ & ⟺& 3xy-6y=x+1\\ & ⟺& 3xy-x=1+6y\\ & ⟺& x(3y-1)=1+6y\\ & ⟺& x=\frac{1+6y}{3y-1}\end{array}$$ On conclut alors que $(\mathrm{\forall }y\in J)$ on a $g^{-1}(y)=\frac{1+6y}{3y-1}$ Finalement la fonction réciproque de $g$ est définit par: $$\begin{array}{ccl}{g}^{-1}:]\frac{1}{3};+\mathrm{\infty }[& \mapsto & ]2;+\mathrm{\infty }[\\ x& \mapsto & \frac{1+6y}{3y-1}\end{array}$$

problème

on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=]2;+\mathrm{\infty }[$ par : $$f(x)=x-1-\frac{2}{x}$$

1. déterminer le sens de variations de $f$.
2. en déduire que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
3. déterminer $f^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$.

correction

on a $I=]2;+\mathrm{\infty }[$ et $(\mathrm{\forall }x\in I),f(x)=x-1-\frac{2}{x}$.

1. soit $x$ et $x^{\prime }$ deux éléments de $I$ avec $x<x^{\prime }$. $$ on a $x<x^{\prime }\Rightarrow \frac{2}{x}>\frac{2}{x^{\prime }}$ $$ donc $-\frac{2}{x}<-\frac{2}{x^{\prime }}\Rightarrow -1-\frac{2}{x}<-1-\frac{2}{x^{\prime }}$ $$ alors $x-1-\frac{2}{x}<x^{\prime }-1-\frac{2}{x^{\prime }}$ d'où $f$ est strictement croissante sur $I$.
2. il est claire que la fonction $f$ est continue sur $I$ come étant la somme de fonctions continues sur $I$, de plus elle est strictement croissante d'après la question précedente. $$ on conclut qu'elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$. avec :$$ $$J=f(I)=f\left(]2;+\mathrm{\infty }[\right)$$ donc $$J=]\underset{x\to 2}{lim}f(x);\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)[=]2;+\mathrm{\infty }[$$
3. déterminons $f^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$. soit $y\in J$ et $x\in I$, on a: $$\begin{array}{ccl}{f}^{-1}(y)=x& ⟺& y=f(x)\\ \\ & ⟺& y=x-1-\frac{2}{x}\\ \\ & ⟺& yx=x^2-x-2\\ \\ & ⟺& x^2-(1+y)x-2=0\end{array}$$ nous sommes à la recherche de $x$ vérifiant la dernière équations qui est une équation algébrique de degré $2$. $$ pour cella on calcule le discriminant $\mathrm{\Delta }$. $$\mathrm{\Delta }=(1+y{)}^2-4.(-2)=(1+y{)}^2+8>0$$ alors l'équation admet deux solution distinct qui sont : $$x_1=\frac{(1+y)+\sqrt{(1+y{)}^2+8}}{2}$$ et $$x_2=\frac{(1+y)-\sqrt{(1+y{)}^2+8}}{2}$$ laquelle des solutions faut-il choisir ? $$ généralement pour répondre à cette question on cherche à prouver que $x_1\in I$ et $x_2\notin I$ dans ce cas on va choisir $x_1$ ou de prouver que $x_2\in I$ et $x_1\notin I$ dans ce cas on va choisir $x_2$. $$ $$ nous avons que $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$$ donc il faut que $$\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{-1}(y)=+\mathrm{\infty }$$ pour $x_2$ , on a : $$\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(1+y)-\sqrt{(1+y{)}^2+8}}{2}=\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(1+y{)}^2-((1+y{)}^2+8)}{2((1+y)+\sqrt{(1+y{)}^2+8})}$$ donc $$\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(1+y)-\sqrt{(1+y{)}^2+8}}{2}=\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-8}{2((1+y)+\sqrt{(1+y{)}^2+8})}=0$$ don $x_2$ n'est pas la bonne solution, donc c'est $x_1$ qui convient. $$ finalement $$(\mathrm{\forall }y\in J),f^{-1}(y)=\frac{(1+y)+\sqrt{(1+y{)}^2+8}}{2}$$
4. on peut montrer que $x_2\notin J$ $$ pour cella il suffit de monter que $x_2<0$. on sait que $(1+y{)}^2<(1+y{)}^2+8$ donc $$\sqrt{(1+y{)}^2}<\sqrt{(1+y{)}^2+8}$$ or $(1+y)<0\Rightarrow \sqrt{(1+y{)}^2}=(1+y)$, donc $$(1+y)<\sqrt{(1+y{)}^2+8}\Rightarrow (1+y)-\sqrt{(1+y{)}^2+8}<0$$ donc $$x_2=\frac{(1+y)-\sqrt{(1+y{)}^2+8}}{2}<0$$ on déduit que $x_2\notin J$.

problème

on considère la fonction $g$ définit sur $I=[4;+\mathrm{\infty }[$ par: $$g(x)=2x-1+\sqrt{x-4}$$

1. vérifier que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
2. déterminer $g^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$.

correction

1. la fonction $g$ est continue sur $I$ ( comme étant somme et composée de fonctions continues) et elle est strictement croissante ( par encadrement $x<x^{\prime }\Rightarrow g(x)<g(x^{\prime })$) . $$ on déduit que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définit sur un intervalle $J$, avec : $$J=g(I)=g\left([4;+\mathrm{\infty }[\right)$$ donc $$J=\left([g(4);\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)[\right)=[7;+\mathrm{\infty }[$$
2. déterminons $g^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$. soit $y\in J$ et $x\in I$, on a: $$\begin{array}{ccl}{g}^{-1}(y)=x& ⟺& y=g(x)\\ \\ & ⟺& y=2x-1+\sqrt{x-4}\\ \\ & ⟺& y-8=2x-8-1+\sqrt{x-4}\\ \\ & ⟺& y-8=2(x-4)-1+\sqrt{x-4}\\ \\ & ⟺& y-7=2(x-4)+\sqrt{x-4}\\ \\ & ⟺& 2(x-4)+\sqrt{x-4}-(y-7)=0\\ \end{array}$$ par changement de variable on pose $X=\sqrt{x-4}$ donc $X$ doit toujours être positif. l'équation est devenue : $$2X^2+X-(y-7)=0$$ le discriminant de cette équation est : $\mathrm{\Delta }=1+8(y-7)$ et $y\ge 7\Rightarrow \mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$X_1=\frac{-1-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{4};X_2=\frac{-1+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{4}$$ on remarque que $X_1<0$ ce qui n'est pas possible car $X=\sqrt{x-4}$. $$ on déduit que $X_2=\frac{-1+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{4}$ or : $$X=\sqrt{x-4}\Rightarrow X^2=x-4\Rightarrow x=X^2+4$$ finalement $$x={\left(\frac{-1+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{4}\right)}^2+4$$ où $\mathrm{\Delta }=1+8y-56=8y-55$ donc $$x={\left(\frac{-1+\sqrt{8y-55}}{4}\right)}^2+4$$ c'est à dire que :$$x=\frac{1-2\sqrt{8y-55}+(8y-55)}{16}+4$$ c'est à dire que :$$x=\frac{8y-2\sqrt{8y-55}-54}{16}+4$$ qu'on peut écrire sous :$$x=\frac{8y-2\sqrt{8y-55}+10}{16}$$ on conclut que $$(\mathrm{\forall }y\in J),g^{-1}(y)=\frac{8y-2\sqrt{8y-55}+10}{16}$$