La dérivabilité d'une fonction partie 2

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La dérivabilité sur un intervalle

définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $]a;b[$, on dit que $f$ est dérivable sur $]a;b[$ si elle est dérivable en tout point de $]a;b[$ .$$ On a aussi :$$ on dit que $f$ est dérivable sur $]a;b]$ si elle est dérivable en tout point de $]a;b[$ et en plus dérivable a gauche en $b$.$$ on dit que $f$ est dérivable sur $[a;b[$ si elle est dérivable en tout point de $]a;b[$ et en plus dérivable a droite en $a$ .$$ on dit que $f$ est dérivable sur $[a;b]$ si elle est dérivable en tout point de $]a;b[$ et en plus dérivable a gauche en $b$ et dérivable a droite en $a$ .

définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , alors pour tout $x\in I{f}^{\prime }(x)$ existe , ainsi il est définit une fonction sur $I$ par :$$ $$\begin{array}{ccl}{f}^{\prime }:& I\mapsto & \mathbb{R}\\ & x\mapsto & f^{\prime }(x)\end{array}$$ cette fonction est dite la fonction dérivé de $f$ sur $I$, on la note $f^{\prime }$ , $df$ , $Df$ ou encore $\frac{df}{dx}$

exemple

on a

1. $f(x)=2x+1\Rightarrow f^{\prime }(x)=2$ sur $\mathbb{R}$
2. $g(t)=2t+1\Rightarrow g^{\prime }(t)=2$ sur $\mathbb{R}$
3. $h(x)=x^2+sin(x)\Rightarrow h^{\prime }(x)=2x+cos(x)$ sur $\mathbb{R}$

proposition

Pour calculer la fonction dérivée , on possède les règles suivantes $$\begin{array}{ccc}f& f^{\prime }& \mathbb{R}\\ b/b\in \mathbb{R}& 0& \mathbb{R}\\ ax/a\in \mathbb{R}& a& \mathbb{R}\\ x^n/n\in \mathbb{N}& n{x}^{n-1}& \mathbb{R}\\ sin& cos& \mathbb{R}\\ cos& -sin& \mathbb{R}\\ \sqrt{x}& \frac{1}{2\sqrt{x}}& {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\end{array}$$

dérivation et opération sur les fonctions

proposition

soient $u$ et $v$ deux fonctions numériques dérivables sur un intervalle $I$, les fonctions $u+v$ , $\alpha .u$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$ et $u.v$ sont dérivables sur $I$ et on a :

• $(u+v{)}^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)$
• $(\alpha .u{)}^{\prime }(x)=\alpha .u^{\prime }(x)$
• $(u.v{)}^{\prime }(x)=u^{\prime }(x).v(x)+u(x).v^{\prime }(x)$
• ${\left(f^n\right)}^{\prime }(x)=n{f}^{n-1}(x).f^{\prime }(x)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$$$
si de plus $v(x)\ne 0\mathrm{\forall }x\in I$ alors la fonction $u.v$ est dérivable sur $I$ est on a :
• ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x).v(x)-u(x).v^{\prime }(x)}{v^2(x)}$

La dérivation et la composition de fonctions

proposition

Si $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ telle que $f(I)\subseteq J$ alors la composé $g\circ f$ est dérivable sur $I$ est on a : $$\mathrm{\forall }x\in I:{(g\circ f)}^{\prime }(x)=g^{\prime }(f(x)).f^{\prime }(x)$$

exemple

déterminons la dérivée de la fonction $h$ telle que : $h(x)=sin(x^2-2x)$$$ posons $f(x)=x^2-2x$ et $g(x)=sin(x)$, alors $h(x)=g\circ f(x)$, donc : $$h^{\prime }(x)=g^{\prime }(f(x)=.f^{\prime }(x)$$ or $f(x)=2x-2$ et $g^{\prime }(x)=cos(x)$ on aura : $$h^{\prime }(x)=cos(x^2-2x).(2x-2)=2(x-1)cos(x^2-2x)$$ voici deux cas particuliers : $${\left(sin(ax+b)\right)}^{\prime }=a.cos(ax+b)$$ et $${\left(cos(ax+b)\right)}^{\prime }=-a.sin(ax+b)$$

La dérivation et la réciproque d'une fonction

proposition

Soit $f$ une fonction numérique continue et strictement monotone sur un intervalle $I$.$$ si $f$ est dérivable sur $I$ et $f^{\prime }$ ne s'annule pas sur $I$ alors la fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable sur $I$ et on a : $$\mathrm{\forall }x\in I,{\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}$$ comme conséquence de cette proposition on a : $$\mathrm{\forall }x\in ]0;+\mathrm{\infty }[,{\left(\sqrt[n]{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{n{\sqrt[n]{x}}^{n-1}}$$ on a aussi pour tout fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$: $$\mathrm{\forall }x\in I,{\left(\sqrt[n]{f(x)}\right)}^{\prime }=\frac{1}{n}{f}^{\frac{1}{n}-1}(x).f^{\prime }(x)$$

La dérivation et la monotonie d'une fonction

proposition

Soit $f$ une fonction numérique dérivable sur un intervalle $I$. on a:

• si $f^{\prime }$ est positive sur $I$ alors $f$ est croissante sur $I$.
• si $f^{\prime }$ est strictement positive sur $I$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• si $f^{\prime }$ est négative sur $I$ alors $f$ est décroissante sur $I$.
• si $f^{\prime }$ est strictement négative sur $I$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• si $f^{\prime }$ est nulle sur $I$ alors $f$ est constante sur $I$.

extremums d'une fonction

Soit $f$ une fonction numérique de domaine de définition $D_f$.

• On dit que $f(a)$ est une valeur minimale locale de $f$ s'il existe un intervalle $I$ inclut dans $D_f$ tel que : $$\mathrm{\forall }x\in If(x)\ge f(a)$$
• On dit que $f(a)$ est une valeur minimale globale de $f$ si : $$\mathrm{\forall }x\in D_{f}f(x)\ge f(a)$$

dans les deux cas précédent $a$ est dit un minimum de $f$.

• On dit que $f(a)$ est une valeur maximale locale de $f$ s'il existe un intervalle $I$ inclut dans $D_f$ tel que : $$\mathrm{\forall }x\in If(x)\le f(a)$$
• On dit que $f(a)$ est une valeur maximale globale de $f$ si : $$\mathrm{\forall }x\in D_{f}f(x)\le f(a)$$

dans les deux cas précédent $a$ est dit un maximum de $f$.$$ un minimum ou un maximum est dit un extrémum .

théorème

Soit $f$ une fonction numérique dérivable sur un intervalle $I$ alors:

• si $a$ est un extrémum de $f$ sur $I$ alors $f^{\prime }(a)=0$.
• si $f^{\prime }$ s'annule en changeant le signe en $a$ alors $a$ est un extrémum de $f$ sur $I$.