La dérivabilité d'une fonction partie 2

La dérivabilité sur un intervalle

définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $ ] a;b [ $, on dit que $f$ est dérivable sur $ ] a;b [ $ si elle est dérivable en tout point de $ ] a;b [ $ .$\\$ On a aussi :$\\$ on dit que $f$ est dérivable sur $ ] a;b ] $ si elle est dérivable en tout point de $ ] a;b [ $ et en plus dérivable a gauche en $b$.$\\$ on dit que $f$ est dérivable sur $ [a;b [ $ si elle est dérivable en tout point de $ ] a;b [ $ et en plus dérivable a droite en $a$ .$\\$ on dit que $f$ est dérivable sur $ [a;b ] $ si elle est dérivable en tout point de $ ] a;b [ $ et en plus dérivable a gauche en $b$ et dérivable a droite en $a$ .

définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , alors pour tout $x\in I f'(x)$ existe , ainsi il est définit une fonction sur $I$ par :$\\$ $$ \begin{array}{ccl} f': & I \mapsto & \mathbb{R} \\ & x \mapsto & f'(x) \\ \end{array} $$ cette fonction est dite la fonction dérivé de $f$ sur $I$, on la note $f'$ , $df$ , $Df$ ou encore $\frac{df}{dx}$

exemple

on a

1. $f(x)=2x+1 \Rightarrow f'(x)= 2 $ sur $\mathbb{R}$
2. $g(t)= 2t+1 \Rightarrow g'(t)=2 $ sur $\mathbb{R}$
3. $ h(x)=x^2+sin(x) \Rightarrow h'(x)=2x+cos(x)$ sur $\mathbb{R}$

proposition

Pour calculer la fonction dérivée , on possède les règles suivantes $$ \begin{array}{ccc} f & f' & \mathbb{R} \\ \hline b \: / b \in \mathbb{R} & 0 & \mathbb{R} \\ \hline ax \: / a \in \mathbb{R} & a & \mathbb{R} \\ \hline x^n \: / n \in \mathbb{N} & nx^{n-1} & \mathbb{R} \\ \hline sin & cos & \mathbb{R} \\ \hline cos & -sin & \mathbb{R} \\ \hline \sqrt{x} & \frac{1}{2\sqrt{x}} & \mathbb{R}_+^* \\ \end{array} $$

dérivation et opération sur les fonctions

proposition

soient $u$ et $v$ deux fonctions numériques dérivables sur un intervalle $I$, les fonctions $u+v$ , $ \alpha.u$ avec $ \alpha \in \mathbb{R} $ et $u.v$ sont dérivables sur $I$ et on a :

• $(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x)$
• $(\alpha.u)'(x)=\alpha .u'(x)$
• $(u.v)'(x)=u'(x).v(x)+u(x).v'(x)$
• $\left( f^n \right) '(x)=nf^{n-1}(x).f'(x) $ pour tout $n \in \mathbb{N}$$\\$
si de plus $ v(x) \neq 0 \: \forall x \in I$ alors la fonction $u.v$ est dérivable sur $I$ est on a :
• $\left( \frac{u}{v}\right) '(x)= \frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{v^2(x)}$

La dérivation et la composition de fonctions

proposition

Si $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ telle que $f(I) \subseteq J$ alors la composé $g \circ f$ est dérivable sur $I$ est on a : $$ \forall \: x \in I: \: \left( g \circ f \right) '(x)=g'(f(x)).f'(x)$$

exemple

déterminons la dérivée de la fonction $h$ telle que : $h(x)=sin(x^2-2x)$$\\$ posons $f(x)=x^2-2x$ et $g(x)=sin(x)$, alors $h(x)=g \circ f(x)$, donc : $$ h'(x)=g'(f(x)=.f'(x)$$ or $f(x)=2x-2$ et $g'(x)=cos(x)$ on aura : $$h'(x)=cos(x^2-2x).(2x-2)=2(x-1)cos(x^2-2x)$$ voici deux cas particuliers : $$ \left( sin \left( ax+b \right) \right)'=a. cos\left( ax+b \right) $$ et $$ \left( cos \left( ax+b \right) \right)'=-a. sin\left( ax+b \right) $$

La dérivation et la réciproque d'une fonction

proposition

Soit $f$ une fonction numérique continue et strictement monotone sur un intervalle $I$.$\\$ si $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur $I$ alors la fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable sur $I$ et on a : $$ \forall x \in I, \: \left( f^{-1} \right)'(x)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)} $$ comme conséquence de cette proposition on a : $$ \forall x \in \left] 0;+\infty\right[ , \: \left( \sqrt[n]{x} \right) '= \frac{1}{n \sqrt[n]{x}^{n-1}}$$ on a aussi pour tout fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$: $$ \forall x \in I , \: \left( \sqrt[n]{f(x)} \right) '= \frac{1}{n}f^{\frac{1}{n}-1}(x).f'(x)$$

La dérivation et la monotonie d'une fonction

proposition

Soit $f$ une fonction numérique dérivable sur un intervalle $I$. on a:

• si $f'$ est positive sur $I$ alors $f$ est croissante sur $I$.
• si $f'$ est strictement positive sur $I$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• si $f'$ est négative sur $I$ alors $f$ est décroissante sur $I$.
• si $f'$ est strictement négative sur $I$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• si $f'$ est nulle sur $I$ alors $f$ est constante sur $I$.

extremums d'une fonction

Soit $f$ une fonction numérique de domaine de définition $D_f$.

• On dit que $f(a)$ est une valeur minimale locale de $f$ s'il existe un intervalle $I$ inclut dans $D_f$ tel que : $$ \forall x \in I \: f(x) \geq f(a)$$
• On dit que $f(a)$ est une valeur minimale globale de $f$ si : $$ \forall x \in D_f \: f(x) \geq f(a)$$

dans les deux cas précédent $ a$ est dit un minimum de $f$.

• On dit que $f(a)$ est une valeur maximale locale de $f$ s'il existe un intervalle $I$ inclut dans $D_f$ tel que : $$ \forall x \in I \: f(x) \leq f(a)$$
• On dit que $f(a)$ est une valeur maximale globale de $f$ si : $$ \forall x \in D_f \: f(x) \leq f(a)$$

dans les deux cas précédent $ a$ est dit un maximum de $f$.$\\$ un minimum ou un maximum est dit un extrémum .

théorème

Soit $f$ une fonction numérique dérivable sur un intervalle $I$ alors:

• si $a$ est un extrémum de $f$ sur $I$ alors $f'(a)=0$.
• si $f'$ s'annule en changeant le signe en $a$ alors $a$ est un extrémum de $f$ sur $I$.