La dérivabilité sur un intervalle
définition
Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert , on dit que est dérivable sur si elle est dérivable en tout point de . On a aussi : on dit que est dérivable sur si elle est dérivable en tout point de et en plus dérivable a gauche en . on dit que est dérivable sur si elle est dérivable en tout point de et en plus dérivable a droite en . on dit que est dérivable sur si elle est dérivable en tout point de et en plus dérivable a gauche en et dérivable a droite en .
définition
Soit une fonction dérivable sur un intervalle , alors pour tout existe , ainsi il est définit une fonction sur par : cette fonction est dite la fonction dérivé de sur , on la note , , ou encore
exemple
on a
- sur
- sur
- sur
proposition
Pour
calculer la fonction dérivée , on possède les règles suivantes
dérivation et opération sur les fonctions
proposition
soient et deux fonctions numériques dérivables sur un intervalle , les fonctions , avec et sont dérivables sur et on a :
- pour tout
si de plus alors la fonction est dérivable sur est on a :
-
La dérivation et la composition de fonctions
proposition
Si une
fonction dérivable sur un intervalle et une fonction dérivable sur un intervalle telle que alors la composé est dérivable sur est on a :
exemple
déterminons la dérivée de la fonction telle que : posons et , alors , donc : or et on aura : voici deux cas particuliers : et
La dérivation et la réciproque d'une fonction
proposition
Soit une
fonction numérique continue et strictement monotone sur un intervalle . si est dérivable sur et ne s'annule pas sur alors la fonction réciproque est dérivable sur et on a : comme conséquence de cette proposition on a : on a aussi pour tout fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle :
La dérivation et la monotonie d'une fonction
proposition
Soit
une fonction numérique dérivable sur un intervalle . on a:
- si est positive sur alors est croissante sur .
- si est strictement positive sur alors est strictement croissante sur .
- si est négative sur alors est décroissante sur .
- si est strictement négative sur alors est strictement décroissante sur .
- si est nulle sur alors est constante sur .
extremums d'une fonction
Soit une fonction numérique de domaine de définition .
- On dit que est une valeur minimale locale de s'il existe un intervalle inclut dans tel que :
- On dit que est une valeur minimale globale de si :
dans les deux cas précédent est dit un minimum de .
- On dit que est une valeur maximale locale de s'il existe un intervalle inclut dans tel que :
- On dit que est une valeur maximale globale de si :
dans les deux cas précédent est dit un maximum de . un minimum ou un maximum est dit un extrémum .
théorème
Soit une fonction numérique dérivable sur un intervalle alors:
- si est un extrémum de sur alors .
- si s'annule en changeant le signe en alors est un extrémum de sur .