Les fonctions primitives...Exercices corrigés

fonctions primitives exercices corrigés

exercice

déterminer l'ensemble des fonctions primitives de $f$ dans les cas suivants:

1. $f(x)=x+\sqrt{x}$
2. $f(x)=x^2+\sqrt[3]{x}+1$
3. $f(x)=\frac{x-1}{{(x^2-2x+1)}^4}$
4. $f(x)=co{s}^2(x).sin(x)$

correction

le principe est d'écrire l'expression de $f(x)$ sous une forme pour laquelle on peut déterminer l'expression de la primitive.

1. on a : $$f(x)=x+\sqrt{x}=x+x^{\frac{1}{2}}$$ donc une primitive de $f$ est: $$F(x)=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{1/2+1}{x}^{1/2+1}=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{2}{3}{x}^{3/2}$$ finalement l'ensemble des primitives de $f$ est : $$\{\frac{1}{2}{x}^2+\frac{2}{3}{x}^{3/2}+C/C\in \mathbb{R}\}$$
2. on a : $$f(x)=x^2+\sqrt[3]{x}+1=x^2+x^{\frac{1}{3}}+1$$ donc une primitive de $f$ est: $$F(x)=\frac{1}{2+1}{x}^{2+1}+\frac{1}{1/3+1}{x}^{1/3+1}+x=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{4}{x}^{4/3}+x$$ finalement l'ensemble des primitives de $f$ est : $$\{\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{4}{x}^{4/3}+x+C/C\in \mathbb{R}\}$$
3. on a : $$f(x)=\frac{x-1}{{(x^2-2x+1)}^4}=\frac{1}{2}(2x-2)(x^2-2x+1{)}^{-4}$$ donc : $$f(x)=\frac{1}{2}(x^2-2x+1{)}^{\prime }(x^2-2x+1{)}^{-4}$$ donc une primitive de $f$ est: $$F(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{-4+1}(x^2-2x+1{)}^{-4+1}$$ finalement l'ensemble de primitives de $f$ est : $$\{\frac{-1}{6}(x^2-2x+1{)}^{-3}+C/C\in \mathbb{R}\}=\{\frac{-1}{6(x^2-2x+1{)}^3}+C/C\in \mathbb{R}\}$$
4. on a : $$f(x)=co{s}^2(x).sin(x)=co{s}^2(x).(-cos(x){)}^{\prime })$$ alors: $$f(x)=co{s}^2(x).(cos(x){)}^{\prime }=-co{s}^2(x).(cos(x){)}^{\prime }$$ donc une primitive de $f$ est: $$F(x)=\frac{1}{2+1}co{s}^{2+1}(x)=\frac{1}{3}co{s}^3(x)$$ finalement l'ensemble des primitives de $f$ est : $$\{\frac{1}{3}co{s}^2(x)+C/C\in \mathbb{R}\}$$

exercice

déterminer l'ensemble des fonctions primitives dans ces cas :

1. $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$
2. $f(x)=x\sqrt{x^2+1}$
3. $f(x)=\frac{1}{x^2}{(\frac{1}{x}-1)}^3$

correction

1. dans le premier cas on a $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$, donc $f(x)=x{\left(\sqrt{x^2-1}\right)}^{-1}$.$$ donc $f(x)=x{((x^2-1{)}^{1/2})}^{-1}=x{(x^2-1)}^{-1/2}$ $$ par suite $f(x)=\frac{1}{2}2x{(x^2-1)}^{-1/2}=\frac{1}{2}(x^2-1{)}^{\prime }{(x^2-1)}^{-1/2}$ $$ donc une fonction primitive de $f$ est : $$F(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{-1/2+1}{(x^2-1)}^{-1/2+1}=\frac{1}{2}\frac{2}{1}{(x^2-1)}^{1/2}$$ d'où l'ensemble des fonctions primitives de$f$ est : $$\{{(x^2-1)}^{1/2}+C/C\in \mathbb{R}\}=\{\sqrt{x^2-1}+C/C\in \mathbb{R}\}$$
2. dans le deuxième cas on a $f(x)=x\sqrt{x^2+1}$ donc $f(x)=x{(x^2+1)}^{1/2}$ $$ par suite $f(x)=\frac{1}{2}2x{(x^2+1)}^{1/2}$ $$ alors $f(x)=\frac{1}{2}(x^2+1{)}^{\prime }{(x^2+1)}^{1/2}$ $$ donc une primitive de $f$ est : $$F(x)=\frac{1}{2}.\frac{1}{1/2+1}{(x^2+1)}^{1/2+1}$$ d'où l'ensemble des fonctions primitives de$f$ est : $$\{\frac{1}{3}{(x^2+1)}^{3/2}+C/C\in \mathbb{R}\}=\{\frac{1}{3}{\left(\sqrt{x^2-1}\right)}^3+C/C\in \mathbb{R}\}$$
3. dans le troisième cas on a $f(x)=\frac{1}{x^2}{(\frac{1}{x}-1)}^3$ $$ donc $$f(x)=\frac{1}{x^2}{(\frac{1}{x}-1)}^3=-{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }{(\frac{1}{x}-1)}^3$$ par suite $$f(x)=-{(\frac{1}{x}-1)}^{\prime }{(\frac{1}{x}-1)}^3$$ donc une primitive de $f$ est : $$F(x)=-\frac{1}{3+1}{(\frac{1}{x}-1)}^{3+1}$$ d'où l'ensemble des fonctions primitives de$f$ est : $$\{-\frac{1}{4}{(\frac{1}{x}-1)}^4+C/C\in \mathbb{R}\}$$