fonctions primitives exercices corrigés
exercice
déterminer l'ensemble des fonctions primitives de $f$ dans les cas suivants:- $f(x)=x+\sqrt{x}$
- $f(x)=x^2+\sqrt[3]{x}+1$
- $f(x)=\frac{x-1}{\left( x^2-2x+1\right)^4 }$
- $f(x)=cos^2(x).sin(x)$
correction
le principe est d'écrire l'expression de $f(x)$ sous une forme pour laquelle on peut déterminer l'expression de la primitive. - on a : $$f(x)=x+\sqrt{x}=x+x^{\frac{1}{2}}$$ donc une primitive de $f$ est: $$F(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{1/2+1}x^{1/2+1}=\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{3}x^{3/2}$$ finalement l'ensemble des primitives de $f$ est : $$\left\lbrace \frac{1}{2}x^2+\frac{2}{3}x^{3/2} +C \:/\: C \in \mathbb{R} \right\rbrace $$
- on a : $$f(x)=x^2+\sqrt[3]{x}+1=x^2+x^{\frac{1}{3}}+1$$ donc une primitive de $f$ est: $$F(x)=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+\frac{1}{1/3+1}x^{1/3+1}+x=\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{4}x^{4/3}+x$$ finalement l'ensemble des primitives de $f$ est : $$\left\lbrace \frac{1}{3}x^3+\frac{3}{4}x^{4/3}+x +C \:/\: C \in \mathbb{R} \right\rbrace $$
- on a : $$f(x)=\frac{x-1}{\left( x^2-2x+1\right)^4 }=\frac{1}{2}(2x-2)(x^2-2x+1)^{-4}$$ donc : $$f(x)=\frac{1}{2}(x^2-2x+1)'(x^2-2x+1)^{-4}$$ donc une primitive de $f$ est: $$F(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{-4+1}(x^2-2x+1)^{-4+1}$$ finalement l'ensemble de primitives de $f$ est : $$\left\lbrace \frac{-1}{6}(x^2-2x+1)^{-3} +C \:/\: C \in \mathbb{R}\right\rbrace = \left\lbrace \frac{-1}{6(x^2-2x+1)^3} +C \:/\: C \in \mathbb{R}\right\rbrace $$
- on a : $$f(x)=cos^2(x).sin(x)=cos^2(x).(-cos(x))')$$ alors: $$f(x)=cos^2(x).(cos(x))'=-cos^2(x).(cos(x))'$$ donc une primitive de $f$ est: $$F(x)=\frac{1}{2+1}cos^{2+1}(x)=\frac{1}{3}cos^3(x)$$ finalement l'ensemble des primitives de $f$ est : $$\left\lbrace \frac{1}{3}cos^2(x) +C \:/\: C \in \mathbb{R} \right\rbrace $$
exercice
déterminer l'ensemble des fonctions primitives dans ces cas : - $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$
- $f(x)=x\sqrt{x^2+1}$
- $f(x)=\frac{1}{x^2}\left( \frac{1}{x}-1\right) ^3$
correction
- dans le premier cas on a $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$, donc $f(x)=x\left( \sqrt{x^2-1}\right)^{-1} $.$\\$ donc $f(x)=x\left( (x^2-1)^{1/2}\right)^{-1}=x\left( x^2-1\right)^{-1/2} $ $\\$ par suite $f(x)=\frac{1}{2} 2x\left(x^2-1\right)^{-1/2}=\frac{1}{2}(x^2-1)'\left( x^2-1\right)^{-1/2} $ $\\$ donc une fonction primitive de $f$ est : $$ F(x)=\frac{1}{2} \frac{1}{-1/2+1}\left( x^2-1\right)^{-1/2+1}=\frac{1}{2}\frac{2}{1}\left( x^2-1\right)^{1/2}$$ d'où l'ensemble des fonctions primitives de$f$ est : $$\left\lbrace \left( x^2-1\right)^{1/2}+C \:/\: C \in \mathbb{R} \right\rbrace =\left\lbrace \sqrt{ x^2-1 }+C \:/\: C \in \mathbb{R} \right\rbrace $$
- dans le deuxième cas on a $f(x)=x\sqrt{x^2+1}$ donc $f(x)=x\left( x^2+1\right)^{1/2} $ $\\$ par suite $f(x)=\frac{1}{2} 2x\left( x^2+1\right)^{1/2} $ $\\$ alors $f(x)=\frac{1}{2} (x^2+1)'\left( x^2+1\right)^{1/2} $ $\\$ donc une primitive de $f$ est : $$F(x)=\frac{1}{2}.\frac{1}{1/2+1}\left( x^2+1\right)^{1/2+1}$$ d'où l'ensemble des fonctions primitives de$f$ est : $$\left\lbrace \frac{1}{3}\left( x^2+1\right)^{3/2}+C \:/\: C \in \mathbb{R} \right\rbrace =\left\lbrace \frac{1}{3} \left( \sqrt{ x^2-1 }\right) ^3+C \:/\: C \in \mathbb{R} \right\rbrace $$
- dans le troisième cas on a $f(x)=\frac{1}{x^2}\left( \frac{1}{x}-1\right) ^3$ $\\$ donc $$f(x)=\frac{1}{x^2}\left( \frac{1}{x}-1\right) ^3=-\left( \frac{1}{x}\right)'\left( \frac{1}{x}-1\right)^3$$ par suite $$f(x)=-\left( \frac{1}{x}-1\right)'\left( \frac{1}{x}-1\right)^3$$ donc une primitive de $f$ est : $$F(x)=-\frac{1}{3+1}\left( \frac{1}{x}-1\right)^{3+1}$$ d'où l'ensemble des fonctions primitives de$f$ est : $$\left\lbrace -\frac{1}{4}\left( \frac{1}{x}-1\right)^4+C \:/\: C \in \mathbb{R} \right\rbrace $$
