Série d'exercices - Limite d'une suite numérique - 2 bac biof

belehsen said
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Série d'exercices | Limite d'une suite numérique | 2 bac biof
Série d'exercices | Limite d'une suite numérique | 2 bac biof


Exercice 1
On considère la suite (un)n1 définit par : un=n+2nn2n+1
  1. Montrer que nN:2n>n.
  2. En déduire que nN:12n<un<1n.
  3. En déduire que (un)n1 est convergente en déterminant la valeur de sa limite.

Exercice 2
Evaluer la limites de la suite (un)n1 dans les cas suivants:
  1. [a)] un=n2+5n3n21 ; un=n29n
  2. [b)] un=2n2+3n+3n ; un=n+1n
  3. [c)] un=2n+(2)n3n ; un=n(2+cos(n2))
  4. [d)] un=11.2+12.3++1n(n+1)

Exercice 3
On considère la suite (un)n1 définit par : un=nn2+nn2+1++n(n+1)2
  1. calculer u1 , u2 et u3.
  2. En déduire que nN:2nn+1<un<2(n+1)n.
  3. En déduire que (un)n1 est convergente en déterminant la valeur de sa limite.

Exercice 4
On considère la suite (un)n0 telle que un=1+13+19++13n
  1. Écrire un en fonction de n.
  2. En déduire la limite de la suite (un)n1.

Exercice 5
Soit (un)n1 une suite géométrique de raison q=12 et dont le premier terme est u1=3. on pose: Sn=u1+u2++nn,nN Étudier la convergence de la somme (Sn)n1

Exercice 6
Soit la suite (un)n0 définit par : un+1=12un+32;u0=4 pour chaque nN on pose vn=un3.
  1. Montrer que (vn)n0 est une suite géométrique en déterminant sa raison.
  2. En déduire que nN on pose un=3+12n.
  3. Évaluer la limite de (un)n0.
  4. pour chaque nN on pose Sn=u0+u1+u2++un. Montrer que nN:Sn=3n+512n
  5. Évaluer la limite de (Sn)n0.

Exercice 7
Soit la suite (un)n0 définit par : un+1=un82un9;u0=3 considérons la fonction f définie par f(x)=x82x9;x92
  1. Construire la courbe de f puis et en déduire le comportement de la suite (un)n0 puis montrer que nN:un<1.
  2. Montrer que la suite (un)n0 est croissante, en déduire qu'elle est convergente.
  3. Déterminer limnun.

Exercice 8
Soit la suite (un)n0 définit par : un+1=12(un+2n);u0=1

  • Montrer que nN:un2.
  • la suite (un)n0 est t-elle convergente ?
  • Déterminer limnun.

  • Exercice 9
    Soit la suite (un)n1 définit par : un+1=12un+1;u1=1
    1. Montrer par récurrence que nN:1un2.
    2. Étudier la monotonie de la suite (un)n1, en déduire qu'elle est convergente.
    3. calculer la limite de (un)n1.

    Exercice 10
    Soit la suite (un)n0 définit par : un+1=12un;u1=1
    1. Montrer par récurrence que nN:un<1.
    2. Étudier la monotonie de la suite (un)n1, en déduire qu'elle est convergente.
    3. calculer la limite de (un)n1.

    Exercice 11
    Soit la suite (un)n0 définit par : un=n+2n
    1. Montrer que nN on a : un=2n+2+n.
    2. En déduire que nN on a 0<un1n.
    3. En déduire la nature de la suite (un)n0.

    Exercice 12
    Soit la suite (un)n0 définit par : u0=12 et un+1=un1+un3.
    1. Soit f la fonction définie sur R+ par f(x)=x1+x3, Montrer que xR+:f(x)x.
    2. Soit I=[0;1] montrer que f(I)I.
    3. vérifier que nN on a : unI.
    4. En déduire que (un)n0 est convergente en déterminant sa limite.

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