Série d'exercices - Limite d'une suite numérique - 2 bac biof

Série d'exercices | Limite d'une suite numérique | 2 bac biof

Exercice 1

On considère la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$ définit par : $$u_n=\frac{n+2^n}{n{2}^{n+1}}$$

1. Montrer que $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }:2^n>n$.
2. En déduire que $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }:\frac{1}{2^n}<u_n<\frac{1}{n}$.
3. En déduire que $(u_n{)}_{n\ge 1}$ est convergente en déterminant la valeur de sa limite.

Exercice 2

Evaluer la limites de la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$ dans les cas suivants:

1. [a)] $u_n=\frac{n^2+5n}{3n^2-1}$ ; $u_n=n^2-9\sqrt{n}$
2. [b)] $u_n=\frac{2n^2+3}{\sqrt{n}+3n}$ ; $u_n=\sqrt{n}+1-n$
3. [c)] $u_n=\frac{2^n+(-2{)}^n}{3^n}$ ; $u_n=n(2+cos(n^2))$
4. [d)] $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$

Exercice 3

On considère la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$ définit par : $$u_n=\frac{n}{n^2}+\frac{n}{n^2+1}+\cdots +\frac{n}{(n+1{)}^2}$$

1. calculer $u_1$ , $u_2$ et $u_3$.
2. En déduire que $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }:\frac{2n}{n+1}<u_n<\frac{2(n+1)}{n}$.
3. En déduire que $(u_n{)}_{n\ge 1}$ est convergente en déterminant la valeur de sa limite.

Exercice 4

On considère la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ telle que $$u_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{3^n}$$

1. Écrire $u_n$ en fonction de $n$.
2. En déduire la limite de la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$.

Exercice 5

Soit $(u_n{)}_{n\ge 1}$ une suite géométrique de raison $q=\frac{-1}{2}$ et dont le premier terme est $u_1=3$. on pose: $$S_n=u_1+u_2+\cdots +n_n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$ Étudier la convergence de la somme $(S_n{)}_{n\ge 1}$

Exercice 6

Soit la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définit par : $$u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+\frac{3}{2};u_0=4$$ pour chaque $n\in \mathbb{N}$ on pose $v_n=u_n-3$.

1. Montrer que $(v_n{)}_{n\ge 0}$ est une suite géométrique en déterminant sa raison.
2. En déduire que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ on pose $u_n=3+\frac{1}{2^n}$.
3. Évaluer la limite de $(u_n{)}_{n\ge 0}$.
4. pour chaque $n\in \mathbb{N}$ on pose $S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots +u_n$. Montrer que $$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:S_n=3n+5-\frac{1}{2^n}$$
5. Évaluer la limite de $(S_n{)}_{n\ge 0}$.

Exercice 7

Soit la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définit par : $$u_{n+1}=\frac{u_n-8}{2u_n-9};u_0=-3$$ considérons la fonction $f$ définie par $$f(x)=\frac{x-8}{2x-9};x\ne \frac{9}{2}$$

1. Construire la courbe de $f$ puis et en déduire le comportement de la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ puis montrer que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:u_n<1$.
2. Montrer que la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ est croissante, en déduire qu'elle est convergente.
3. Déterminer $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n$.

Exercice 8

Soit la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définit par : $$u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{2}{n});u_0=1$$

Montrer que $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }:u_n\ge \sqrt{2}$.

la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ est t-elle convergente ?

Déterminer $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n$.

Exercice 9

Soit la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$ définit par : $$u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+1;u_1=1$$

1. Montrer par récurrence que $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }:1\le u_n\le 2$.
2. Étudier la monotonie de la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$, en déduire qu'elle est convergente.
3. calculer la limite de $(u_n{)}_{n\ge 1}$.

Exercice 10

Soit la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définit par : $$u_{n+1}=\frac{1}{2-u_n};u_1=-1$$

1. Montrer par récurrence que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:u_n<1$.
2. Étudier la monotonie de la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$, en déduire qu'elle est convergente.
3. calculer la limite de $(u_n{)}_{n\ge 1}$.

Exercice 11

Soit la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définit par : $$u_n=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$$

1. Montrer que $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ on a : $u_n=\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$.
2. En déduire que $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ on a $0<u_n\le \frac{1}{\sqrt{n}}$.
3. En déduire la nature de la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$.

Exercice 12

Soit la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définit par : $u_0=\frac{1}{2}$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{1+\sqrt[3]{u_n}}$.

1. Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{+}$ par $f(x)=\frac{x}{1+\sqrt[3]{x}}$, Montrer que $\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{+}:f(x)\le x$.
2. Soit $I=[0;1]$ montrer que $f(I)\subset I$.
3. vérifier que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ on a : $u_n\in I$.
4. En déduire que $(u_n{)}_{n\ge 0}$ est convergente en déterminant sa limite.