Série d'exercices - Limite d'une suite numérique - 2 bac biof

Série d'exercices | Limite d'une suite numérique | 2 bac biof

Exercice 1

On considère la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ définit par : $$u_n=\frac{n+2^n}{n2^{n+1}}$$

1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*: 2^n > n$.
2. En déduire que $\forall n \in \mathbb{N}^*: \frac{1}{2^n} < u_n < \frac{1}{n}$.
3. En déduire que $(u_n)_{n\geq 1}$ est convergente en déterminant la valeur de sa limite.

Exercice 2

Evaluer la limites de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ dans les cas suivants:

1. [a)] $u_n=\frac{n^2+5n}{3n^2-1}$ ; $u_n=n^2-9\sqrt{n}$
2. [b)] $u_n=\frac{2n^2+3}{\sqrt{n}+3n}$ ; $u_n=\sqrt{n}+1-n$
3. [c)] $u_n=\frac{2^n+(-2)^n}{3^n}$ ; $u_n=n(2+cos(n^2))$
4. [d)] $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+ \cdots + \frac{1}{n(n+1)}$

Exercice 3

On considère la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ définit par : $$u_n=\frac{n}{n^2}+\frac{n}{n^2+1}+\cdots +\frac{n}{(n+1)^2}$$

1. calculer $u_1$ , $u_2$ et $u_3$.
2. En déduire que $\forall n \in \mathbb{N}^*: \frac{2n}{n+1} < u_n < \frac{2(n+1)}{n}$.
3. En déduire que $(u_n)_{n\geq 1}$ est convergente en déterminant la valeur de sa limite.

Exercice 4

On considère la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ telle que $$u_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{3^n}$$

1. Écrire $u_n$ en fonction de $n$.
2. En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$.

Exercice 5

Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite géométrique de raison $q=\frac{-1}{2}$ et dont le premier terme est $u_1=3$. on pose: $$ S_n=u_1+u_2+ \cdots + n_n \; , \; n \in \mathbb{N}^*$$ Étudier la convergence de la somme $(S_n)_{n\geq 1}$

Exercice 6

Soit la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définit par : $$u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{3}{2} \; ; \; u_0=4$$ pour chaque $n \in \mathbb{N}$ on pose $v_n=u_n-3$.

1. Montrer que $(v_n)_{n\geq 0}$ est une suite géométrique en déterminant sa raison.
2. En déduire que $\forall n \in \mathbb{N}$ on pose $u_n=3+\frac{1}{2^n}$.
3. Évaluer la limite de $(u_n)_{n\geq 0}$.
4. pour chaque $n \in \mathbb{N}$ on pose $S_n=u_0+u_1+u_2+ \cdots +u_n$. Montrer que $$\forall n \in \mathbb{N}: \: S_n=3n+5-\frac{1}{2^n}$$
5. Évaluer la limite de $(S_n)_{n\geq 0}$.

Exercice 7

Soit la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définit par : $$u_{n+1}=\frac{u_n-8}{2u_n-9} \; ; \; u_0=-3 $$ considérons la fonction $f$ définie par $$f(x)=\frac{x-8}{2x-9} \; ; \; x \neq \frac{9}{2}$$

1. Construire la courbe de $f$ puis et en déduire le comportement de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ puis montrer que $\forall n \in \mathbb{N}: u_n < 1$.
2. Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est croissante, en déduire qu'elle est convergente.
3. Déterminer $ \lim_{n \to \infty } u_n$.

Exercice 8

Soit la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définit par : $$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left( u_n+\frac{2}{n}\right) \; ; \; u_0=1$$

Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*: u_n \geq \sqrt{2}$.

la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est t-elle convergente ?

Déterminer $ \lim_{n \to \infty } u_n$.

Exercice 9

Soit la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ définit par : $$u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1 \; ; \; u_1=1$$

1. Montrer par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}^*: 1 \leq u_n \leq 2 $.
2. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$, en déduire qu'elle est convergente.
3. calculer la limite de $(u_n)_{n\geq 1}$.

Exercice 10

Soit la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définit par : $$u_{n+1}=\frac{1}{2-u_n} \; ; \; u_1=-1$$

1. Montrer par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}: u_n < 1 $.
2. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$, en déduire qu'elle est convergente.
3. calculer la limite de $(u_n)_{n\geq 1}$.

Exercice 11

Soit la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définit par : $$u_n=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$$

1. Montrer que $ \forall n \in \mathbb{N}^*$ on a : $u_n=\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$.
2. En déduire que $ \forall n \in \mathbb{N}^*$ on a $ 0 < u_n \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$.
3. En déduire la nature de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$.

Exercice 12

Soit la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définit par : $u_0=\frac{1}{2}$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{1+\sqrt[3]{u_n}}$.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ par $f(x)=\frac{x}{1+\sqrt[3]{x}}$, Montrer que $ \forall x \in \mathbb{R}^+: f(x) \leq x$.
2. Soit $I=[0;1]$ montrer que $f(I) \subset I$.
3. vérifier que $ \forall n \in \mathbb{N}$ on a : $u_n \in I$.
4. En déduire que $(u_n)_{n\geq 0}$ est convergente en déterminant sa limite.