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contrôle 1 semestre 1 biof  en mathématiques

Exercice 1

Simplifier les nombres suivants : 

$$A=(5\sqrt{3}+\sqrt{11})(5\sqrt{3}-\sqrt{11})  $$ 

$$B=(4x^2-25)-(x-6)(2x+5) $$ 

$$ C=(5x-7)^2-(25x^2-49)+2x(5x-7) $$

Exercice 2

Simplifier les nombres suivants : $$A=\frac{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})} $$ $$ B=\frac{\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}}}{\frac{1}{1+\sqrt{2}}-\frac{1}{1-\sqrt{2}}} $$ $$C=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} $$

Exercice 3

Factoriser les expressions suivantes: $$ (4x^2-25)-(x-6)(2x+5)$$ $$ 2(3x-1)^2-(x-3)^2 $$ $$ (\sqrt{2}x-3)^2-(7x\sqrt{2}x^2-21x) $$

Exercice 4

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que: $1 \leq x \leq 7$ et $-5 \leq y \leq -2 $. $\\$$ Encadrer les nombres $2x+3y$ , $2x-3y$ , $xy$ , $x^2-y^2+1$ et $\frac{x}{y-3}$.

Exercice 5

Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $\vert x-1 \vert < \frac{1}{2}$.

1. Donner un encadrement de $x$.
2. Montrer que $\frac{4}{3}$ est une valeur approchée de $\frac{1}{a}$ avec précision $\frac{2}{3}$.

Exercice 6

Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $\vert 3x-2 \vert < 1$.

1. Montrer encadrement de $\frac{1}{3} < x < 1$.
2. Donner un encadrement de $ \frac{1}{2x+1}$.
3. Montrer que $\frac{7}{15}$ est une valeur approchée de $ \frac{1}{2x+1}$ avec précision $\frac{2}{15}$.
4. Déterminer une valeur approchée de $Y=\frac{1}{1+9x^2}$ et indiquer sa précision.

Exercice 7

On considére les nombres $a=1320$ , $b=7020$ et $c=286$.

1. Décomposer en facteurs premiers les nombres $a$ , $b$ et $c$.
2. En déduire le $PGCD(a;b)$, le $PPCM(a;b)$, le $PGCD(a;c)$, le $PGCD(c;b)$, le $PPCM(a;c)$, et le $PPCM(c;b)$ .
3. Déterminer combien de diviseurs admet chacun des nombres $a$ et et $b$.
4. Donner la forme la plus réduite de $\frac{13a}{11b}$.
5. Montrer que $\sqrt{\frac{ab}{c}} \in \mathbb{N}$.
6. Montrer qu'il existe $ d \in \mathbb{N}$ tel que $\frac{1210ab}{39} =d^3$

Exercice 8

Soit $n \in \mathbb{N}$. On considéré $N=(5n+1)(5n+2)-1$ , $M=25n^2+10n+1$ et $P=25n^2+20n+4$.

1. Étudier la parité de $N$.
2. Montrer que $M$ et $P$ sont des carrées parfaits.
3. Montrer que $M < N < P$ .
4. En déduire que $\sqrt{N}$ ne peut pas être un entier naturel.

Exercice 9

Étudier la primalité de chacun des entiers naturels suivants: $$a=2221 ;\;b=331 ;\;c=7891 ;\;d=1331 ;\;e=1503 ;\;f=11111 $$

Exercice 10

Compléter par le symbole $\left( \subseteq \right)$ ou le symbole $\left( \nsubseteq \right) $ qui convient dans les expressions suivantes:

1. $ \left[ 0;5\right] ... \mathbb{N}$ ;$\; \;$ $ \left[ 0;5\right] ... \mathbb{R}$
2. $ \left[ 1;+\infty \right[ ... \mathbb{R}^+$ ;$\; \;$ $ \left] -\infty;1\right] ... \mathbb{R}^-$
3. $ \left[ 1;2\right] ... \left[0;7 \right] $ ;$\; \;$ $ \left[ -1;0\right] ... \left]-1;1 \right[ $
4. $ \left[ 1;2\right] ... \left]1;2\right[$ ;$\; \;$ $ \left]3;10\right[ ... \left[ 3;10\right]$

Le symbole $\left( \subseteq \right)$ se lit inclut et le symbole $\left( \nsubseteq \right) $ signifie n'est pas inclut.

Exercice 11

Déterminer l'intersection $\left( \cap \right)$ et la réunion $\left( \cup \right)$ de $I$ et $J$ dans les cas suivants:

1. $I=\left[ 1;+\infty\right[ $ et $J=\left[ -5;10\right] $
2. $I= \left] 0;7 \right[ $ et $J= \left] 1;2 \right[ $
3. $I=\left]0;+\infty \right[ $ et $J=\mathbb{N} $

Exercice 12

Écrire sans valeur absolue les expressions suivantes:

1. $A=\vert x-1 \vert + \vert x^4+x ^2+1 \vert $
2. $B=\vert 2x-6 \vert -3\vert 5x-10 \vert $
3. $B=\vert 2x \vert +2\vert 3x+9 \vert $

Exercice 13

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

1. $\vert 2x-8 \vert =5$ et $ \vert x^2-2x+1 \vert =-1$
2. $\vert 2x-8 \vert =\vert x-1 \vert $ et $ \vert x^2-2x+1 \vert = \vert x-1$

Exercice 14

Déterminer un encadrement de $x$ dans les cas suivantes:

1. $ 0 \leq \vert 2x-6 \vert \leq 1$
2. $ 0 \leq \vert 2x-6 \vert \leq 4$ et $0 \leq \vert 5x+1 \vert \leq 3$