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contrôle 1 semestre 1 biof  en mathématiques

Exercice 1

Simplifier les nombres suivants : 

$$A=(5\sqrt{3}+\sqrt{11})(5\sqrt{3}-\sqrt{11})$$ 

$$B=(4x^2-25)-(x-6)(2x+5)$$ 

$$C=(5x-7{)}^2-(25x^2-49)+2x(5x-7)$$

Exercice 2

Simplifier les nombres suivants : $$A=\frac{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}$$ $$B=\frac{\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}}}{\frac{1}{1+\sqrt{2}}-\frac{1}{1-\sqrt{2}}}$$ $$C=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$$

Exercice 3

Factoriser les expressions suivantes: $$(4x^2-25)-(x-6)(2x+5)$$ $$2(3x-1{)}^2-(x-3{)}^2$$ $$(\sqrt{2}x-3{)}^2-(7x\sqrt{2}{x}^2-21x)$$

Exercice 4

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que: $1\le x\le 7$ et $-5\le y\le -2$. $$$Encadrerlesnombres$2x+3y$,$2x-3y$,$xy$,$x^2-y^2+1$et$\frac{x}{y-3}$.

Exercice 5

Soit $x\in \mathbb{R}$ tel que $|x-1|<\frac{1}{2}$.

1. Donner un encadrement de $x$.
2. Montrer que $\frac{4}{3}$ est une valeur approchée de $\frac{1}{a}$ avec précision $\frac{2}{3}$.

Exercice 6

Soit $x\in \mathbb{R}$ tel que $|3x-2|<1$.

1. Montrer encadrement de $\frac{1}{3}<x<1$.
2. Donner un encadrement de $\frac{1}{2x+1}$.
3. Montrer que $\frac{7}{15}$ est une valeur approchée de $\frac{1}{2x+1}$ avec précision $\frac{2}{15}$.
4. Déterminer une valeur approchée de $Y=\frac{1}{1+9x^2}$ et indiquer sa précision.

Exercice 7

On considére les nombres $a=1320$ , $b=7020$ et $c=286$.

1. Décomposer en facteurs premiers les nombres $a$ , $b$ et $c$.
2. En déduire le $PGCD(a;b)$, le $PPCM(a;b)$, le $PGCD(a;c)$, le $PGCD(c;b)$, le $PPCM(a;c)$, et le $PPCM(c;b)$ .
3. Déterminer combien de diviseurs admet chacun des nombres $a$ et et $b$.
4. Donner la forme la plus réduite de $\frac{13a}{11b}$.
5. Montrer que $\sqrt{\frac{ab}{c}}\in \mathbb{N}$.
6. Montrer qu'il existe $d\in \mathbb{N}$ tel que $\frac{1210ab}{39}=d^3$

Exercice 8

Soit $n\in \mathbb{N}$. On considéré $N=(5n+1)(5n+2)-1$ , $M=25n^2+10n+1$ et $P=25n^2+20n+4$.

1. Étudier la parité de $N$.
2. Montrer que $M$ et $P$ sont des carrées parfaits.
3. Montrer que $M<N<P$ .
4. En déduire que $\sqrt{N}$ ne peut pas être un entier naturel.

Exercice 9

Étudier la primalité de chacun des entiers naturels suivants: $$a=2221;b=331;c=7891;d=1331;e=1503;f=11111$$

Exercice 10

Compléter par le symbole $(\subseteq )$ ou le symbole $(⊈)$ qui convient dans les expressions suivantes:

1. $[0;5]...\mathbb{N}$ ;$$ $[0;5]...\mathbb{R}$
2. $[1;+\mathrm{\infty }[...{\mathbb{R}}^{+}$ ;$$ $]-\mathrm{\infty };1]...{\mathbb{R}}^{-}$
3. $[1;2]...[0;7]$ ;$$ $[-1;0]...]-1;1[$
4. $[1;2]...]1;2[$ ;$$ $]3;10[...[3;10]$

Le symbole $(\subseteq )$ se lit inclut et le symbole $(⊈)$ signifie n'est pas inclut.

Exercice 11

Déterminer l'intersection $(\cap )$ et la réunion $(\cup )$ de $I$ et $J$ dans les cas suivants:

1. $I=[1;+\mathrm{\infty }[$ et $J=[-5;10]$
2. $I=]0;7[$ et $J=]1;2[$
3. $I=]0;+\mathrm{\infty }[$ et $J=\mathbb{N}$

Exercice 12

Écrire sans valeur absolue les expressions suivantes:

1. $A=|x-1|+|x^4+x^2+1|$
2. $B=|2x-6|-3|5x-10|$
3. $B=|2x|+2|3x+9|$

Exercice 13

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

1. $|2x-8|=5$ et $|x^2-2x+1|=-1$
2. $|2x-8|=|x-1|$ et $|x^2-2x+1|=|x-1$

Exercice 14

Déterminer un encadrement de $x$ dans les cas suivantes:

1. $0\le |2x-6|\le 1$
2. $0\le |2x-6|\le 4$ et $0\le |5x+1|\le 3$