 |
| contrôle 1 semestre 1 2 bac biof |
Exercice 1
Calculer les limites suivantes
$$ \lim_{x \to -1 } \frac{2x^2+x-3}{x+1} $$ $$ \lim_{x \to 0 } \frac{tan(2x)}{x^2+x} $$ $$\lim_{x \to +\infty } x-\sqrt{1+x} $$
$$ \lim_{x \to \pi/3 } \frac{2cos(x)-1}{x-\pi/3} $$ $$ \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt[3]{6+x}-8}{x-2} $$ $$ \lim_{x \to +\infty } \sqrt[3]{x^3+1}-x $$
Exercice 2
Classer selon l'ordre croissant les nombres suivants :
$ \sqrt[6]{2} ; \; 2^{3/4} ;\; \sqrt{3} $
Exercice 3
simplifier le nombre $A$ suivant: $ A=\frac{\sqrt[15]{3^5}\sqrt[3]{9}\sqrt[5]{9}^3}{\sqrt[5]{3}}$
Exercice 4
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
f(x) &=& x^2 - 2\sqrt{1-x};\; x < 1 \\
f(x) &=& \frac{x}{2x-1}; \; x > 1\\
f(1) &=& 1
\end{array}
\right.
\]
- Étudier la continuité de $f$ sur chacun des intervalles $I=\left] -\infty ; 1\right[ $ et $I'=\left] 1; +\infty \right[ $
- $f$ est elle continue sur $\mathbb{R}$ ?
Exercice 5
- Montrer que l'équation $x^3+2x-1=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[ 0;1\right] $
- Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0.25$
Exercice 6
On considère la suite $(u_n)$ définit par :
$ u_0=1 \; ; \; u_{n+1}=\frac{2n+1}{4n+6}u_n $
on pose $v_n=(1+2n)u_n$
- calculer $u_1$, $v_0$ et $v_1$.
- montrer par récurrence que $(\forall n \in \mathbb{N}) :\; 0 \leq u_n \leq 1$.
- montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
- calculer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
- en déduire la limite de $(u_n)$.
- calculer la somme $S_n=u_n+3u_1+5u_2+ \cdots (2n+1)u_n$
Exercice 7
on considère la fonction $f$ définit sur $I=\left] -1; +\infty \right[$ par $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}}$
- calculer $f(0)$, $\lim_{x \to +\infty }f(x)$ et $\lim_{x \to -1^+}f(x)$.
- calculer $f'(x)$ , en déduire le tableau de variation de $f$.
- étudier les branches infinis de $\left( \mathcal{C}_f\right) $ puis construire $\left( \mathcal{C}_f\right) $ .
- déterminer $f(I)$.
- montrer que $f$ admet une fonction réciproque dont on détermine le domaine de définition $J$ .
- poser le tableau de variation de $f^{-1}$.
- construire $\left( \mathcal{C}_{f^{-1}}\right) $.
- Déterminer $f^{-1}(x)$ pour tous $x \in J$.
