Contrôle 1 Semestre 1 - 2 bac Biof

contrôle 1 semestre 1 2 bac biof 

Exercice 1

Calculer les limites suivantes $$\underset{x\to -1}{lim}\frac{2x^2+x-3}{x+1}$$ $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{tan(2x)}{x^2+x}$$ $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x-\sqrt{1+x}$$ $$\underset{x\to \pi /3}{lim}\frac{2cos(x)-1}{x-\pi /3}$$ $$\underset{x\to 2}{lim}\frac{\sqrt[3]{6+x}-8}{x-2}$$ $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{x^3+1}-x$$

Exercice 2

Classer selon l'ordre croissant les nombres suivants : $\sqrt[6]{2};2^{3/4};\sqrt{3}$

Exercice 3

simplifier le nombre $A$ suivant: $A=\frac{\sqrt[15]{3^5}\sqrt[3]{9}{\sqrt[5]{9}}^3}{\sqrt[5]{3}}$

Exercice 4

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\{\begin{array}{rcl}f(x)& =& x^2-2\sqrt{1-x};x<1\\ f(x)& =& \frac{x}{2x-1};x>1\\ f(1)& =& 1\end{array}$$

1. Étudier la continuité de $f$ sur chacun des intervalles $I=]-\mathrm{\infty };1[$ et $I^{\prime }=]1;+\mathrm{\infty }[$
2. $f$ est elle continue sur $\mathbb{R}$ ?

Exercice 5

1. Montrer que l'équation $x^3+2x-1=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0;1]$
2. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0.25$

Exercice 6

On considère la suite $(u_n)$ définit par : $u_0=1;u_{n+1}=\frac{2n+1}{4n+6}{u}_n$ on pose $v_n=(1+2n)u_n$

1. calculer $u_1$, $v_0$ et $v_1$.
2. montrer par récurrence que $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}):0\le u_n\le 1$.
3. montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
4. calculer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
5. en déduire la limite de $(u_n)$.
6. calculer la somme $S_n=u_n+3u_1+5u_2+\cdots (2n+1)u_n$

Exercice 7

on considère la fonction $f$ définit sur $I=]-1;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}}$

1. calculer $f(0)$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ et $\underset{x\to -1^{+}}{lim}f(x)$.
2. calculer $f^{\prime }(x)$ , en déduire le tableau de variation de $f$.
3. étudier les branches infinis de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ puis construire $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ .
4. déterminer $f(I)$.
5. montrer que $f$ admet une fonction réciproque dont on détermine le domaine de définition $J$ .
6. poser le tableau de variation de $f^{-1}$.
7. construire $\left({\mathcal{C}}_{f^{-1}}\right)$.
8. Déterminer $f^{-1}(x)$ pour tous $x\in J$.