la fonction racine nième 2 bac ( équations - inéquations - limites - étude ... )

la fonction racine nième

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes: $$ \begin{gathered} \left(E_1\right): \sqrt[4]{1-x}=1-x \quad ; \quad \left(E_2\right): x+\sqrt[3]{x}=2 \\ \left(E_3\right): \sqrt{x} +\sqrt[3]{x}=12 \quad ; \quad \left(E_4\right): \sqrt[3]{x+7}+\sqrt[3]{28-x}=5 \end{gathered} $$

Exercice 2

Calculer les limites suivantes

1. $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x} $
2. $ \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt[3]{x^2}-x}{x} $
3. $ \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}+1} $
4. $ \lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac{x-\sqrt[3]{x+6}}{3-\sqrt{2 x+5}} $
5. $ \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{\sqrt[4]{x}-1} $
6. $ \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{x^3+x}-x $
7. $ \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x-\sqrt[3]{x}-\sqrt{x} $

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes

1. $\sqrt{x+2} < x $
2. $\sqrt{2 x+1}-3<\sqrt{x+2} $
3. $(2-x)^3 \leq x $
4. $\sqrt[3]{x^2+8}-2 < x $

Exercice 4

1. Calculer sans utiliser la calculatrice et en détaillant les étapes de calcul. $$ \mathrm{A}=\sqrt[4]{5} \times \sqrt[4]{125} ; \; \mathrm{B}=5^{\frac{2}{3}} \times \sqrt[6]{25} ;\; \mathrm{C}=\sqrt[5]{81} \times 3^{\frac{1}{5}} $$
2. Développer $(2+\sqrt{2})^3$ et $(2-\sqrt{2})^3$. En déduire la valeur exacte de $\mathrm{A}=\sqrt[3]{20+14 \sqrt{2}}-\sqrt[3]{20-14 \sqrt{2}}$.
3. Soit $a$ un réel strictement positif. Simplifier A $=\frac{\sqrt[3]{a^5} \times\left(\sqrt[4]{a^7}\right)^2}{\left(a^2\right)^2 \times \sqrt[5]{a^2} \times \sqrt[5]{a^3}}$.
4. Calculer $\mathrm{A}=\frac{27^{-\frac{2}{3}} \times 49^{\frac{1}{2}} \times 16^{\frac{5}{4}}}{(\sqrt[5]{243})^2}$
5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt[3]{5-2 x}=2$.

Exercice 5

Soit $f$ la fonction numérique définie par: $f(x)=\frac{x^3-1}{x^3+2}$.

1. Déterminer $D_f$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.
2. Étudier les variations de la fonction $f$.
3. Soit $g$ la restriction de la fonction sur l'intervalle $I=]-\infty ;-\sqrt[3]{2}[$. Montrer que la fonction $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ dont on déterminera l'ensemble de définition $J$.
4. Calculer $g^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$.

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