la fonction racine nième 2 bac ( équations - inéquations - limites - étude ... )

la fonction racine nième

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes: $$\begin{array}{c}\left(E_1\right):\sqrt[4]{1-x}=1-x;\left(E_2\right):x+\sqrt[3]{x}=2\\ \left(E_3\right):\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}=12;\left(E_4\right):\sqrt[3]{x+7}+\sqrt[3]{28-x}=5\end{array}$$

Exercice 2

Calculer les limites suivantes

1. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}$
2. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt[3]{x^2}-x}{x}$
3. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}+1}$
4. $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x-\sqrt[3]{x+6}}{3-\sqrt{2x+5}}$
5. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{\sqrt[4]{x}-1}$
6. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{x^3+x}-x$
7. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x-\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}$

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes

1. $\sqrt{x+2}<x$
2. $\sqrt{2x+1}-3<\sqrt{x+2}$
3. $(2-x{)}^3\le x$
4. $\sqrt[3]{x^2+8}-2<x$

Exercice 4

1. Calculer sans utiliser la calculatrice et en détaillant les étapes de calcul. $$\mathrm{A}=\sqrt[4]{5}\times \sqrt[4]{125};\mathrm{B}=5^{\frac{2}{3}}\times \sqrt[6]{25};\mathrm{C}=\sqrt[5]{81}\times 3^{\frac{1}{5}}$$
2. Développer $(2+\sqrt{2}{)}^3$ et $(2-\sqrt{2}{)}^3$. En déduire la valeur exacte de $\mathrm{A}=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}-\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$.
3. Soit $a$ un réel strictement positif. Simplifier A $=\frac{\sqrt[3]{a^5}\times {\left(\sqrt[4]{a^7}\right)}^2}{{\left(a^2\right)}^2\times \sqrt[5]{a^2}\times \sqrt[5]{a^3}}$.
4. Calculer $\mathrm{A}=\frac{{27}^{-\frac{2}{3}}\times {49}^{\frac{1}{2}}\times {16}^{\frac{5}{4}}}{(\sqrt[5]{243}{)}^2}$
5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt[3]{5-2x}=2$.

Exercice 5

Soit $f$ la fonction numérique définie par: $f(x)=\frac{x^3-1}{x^3+2}$.

1. Déterminer $D_f$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.
2. Étudier les variations de la fonction $f$.
3. Soit $g$ la restriction de la fonction sur l'intervalle $I=]-\mathrm{\infty };-\sqrt[3]{2}[$. Montrer que la fonction $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ dont on déterminera l'ensemble de définition $J$.
4. Calculer $g^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$.

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