Exercices de synthèses ( racine n-iéme - arctang - fonction réciproque - limites .... )

racine n-iéme - arctang - fonction réciproque - limites ....

Exercice 1

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[1 ;+\infty[$ par : $$ f(x)=\sqrt{x-1}-2 \sqrt[4]{x-1} $$

1. Montrer que pour tout $[1 ;+\infty[$ : $$ f(x)=(\sqrt[4]{x-1}-1)^2-1 $$
2. Calculer la limite : $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$.
3. Montrer que $f$ est continue sur $I=[2 ;+\infty[$.
4. Montrer que $f$ est strictement croissante $\operatorname{sur} I$.
5. Soit $g$ la restriction de la fonction $f \operatorname{sur} I$.
Montrer que la fonction $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
6. Calculer $g^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$.

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\left.]-\infty ; \frac{\pi}{2}\right]$ par: $$ \left\{\begin{array}{l} f(x)=\operatorname{Arctan}(\sqrt[3]{\tan x}) \text { si } x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}[\right. \\ f(x)=\frac{x}{\sqrt[3]{1-x^3}} \text { si } x < 0 \\ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2} \end{array}\right. $$

1. Montrer que $f$ est continue sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$.
2. Calculer: $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ et $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} \frac{f(x)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{x-\frac{\pi}{2}}$
3. Soit $g$ la restriction de la fonction $f \operatorname{sur}\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$. \\ Montrer que $g$ réalise une bijection de $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ sur un intervalle $J$ à déterminer.
4. Dresser le tableau de variations de $g^{-1}$.
5. Déterminer $g^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$.

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $$ \left\{\begin{array}{l} f(x)=x \operatorname{Arctan}\left(\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}\right) \text { si } x \neq 0 \\ f(0)=0 \end{array}\right. $$

1. Étudier la continuité de $f$ en $0$ .
2. Étudier la parité de la fonction $f$.
3. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^*_+$: $$ f(x)=\frac{\pi}{2} x-\frac{x}{2} \operatorname{Arctan} x $$
4. En déduire une expression simple de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
5. On considère dans $\mathbb{R}$: l'équation suivante: $$ \text { (E) }: \operatorname{Arctan}\left(\frac{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x}}{x}\right)=\frac{5 \pi}{12} $$ Montrer que : $(E) \Leftrightarrow f(\sqrt{x})=\frac{5 \pi}{12} \sqrt{x}$
6. En déduire les solutions de l'équation $(E)$.