Exercices de synthèses ( racine n-iéme - arctang - fonction réciproque - limites .... )

belehsen said
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racine n-iéme - arctang - fonction réciproque - limites ....
racine n-iéme - arctang - fonction réciproque - limites ....

Exercice 1

Soit f la fonction numérique définie sur [1;+[ par : f(x)=x12x14

  1. Montrer que pour tout [1;+[ : f(x)=(x141)21
  2. Calculer la limite : limx+f(x).
  3. Montrer que f est continue sur I=[2;+[.
  4. Montrer que f est strictement croissante surI.
  5. Soit g la restriction de la fonction fsurI.
  6. Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque g1 définie sur un intervalle J à déterminer.
  7. Calculer g1(x) pour tout xJ.

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur ];π2] par: {f(x)=Arctan(tanx3) si x[0;π2[f(x)=x1x33 si x<0f(π2)=π2

  1. Montrer que f est continue sur [0;π2].
  2. Calculer: limxf(x) et limxπ2+f(x)f(π2)xπ2
  3. Soit g la restriction de la fonction fsur[0;π2]. \ Montrer que g réalise une bijection de [0;π2] sur un intervalle J à déterminer.
  4. Dresser le tableau de variations de g1.
  5. Déterminer g1(x) pour tout xJ.

Exercice 3

On considère la fonction f définie sur R par: {f(x)=xArctan(1+x2+1x) si x0f(0)=0

  1. Étudier la continuité de f en 0 .
  2. Étudier la parité de la fonction f.
  3. Montrer que pour tout xR+: f(x)=π2xx2Arctanx
  4. En déduire une expression simple de f(x) sur R.
  5. On considère dans R: l'équation suivante:  (E) :Arctan(x2+x+xx)=5π12 Montrer que : (E)f(x)=5π12x
  6. En déduire les solutions de l'équation (E).

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