Exercices de synthèses ( racine n-iéme - arctang - fonction réciproque - limites .... )

racine n-iéme - arctang - fonction réciproque - limites ....

Exercice 1

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[1;+\mathrm{\infty }[$ par : $$f(x)=\sqrt{x-1}-2\sqrt[4]{x-1}$$

1. Montrer que pour tout $[1;+\mathrm{\infty }[$ : $$f(x)=(\sqrt[4]{x-1}-1{)}^2-1$$
2. Calculer la limite : $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$.
3. Montrer que $f$ est continue sur $I=[2;+\mathrm{\infty }[$.
4. Montrer que $f$ est strictement croissante $\mathrm{sur}I$.
5. Soit $g$ la restriction de la fonction $f\mathrm{sur}I$.
Montrer que la fonction $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
6. Calculer $g^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$.

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\mathrm{\infty };\frac{\pi }{2}]$ par: $$\{\begin{array}{l}f(x)=\mathrm{Arctan}(\sqrt[3]{\tan x})\text{ si }x\in [0;\frac{\pi }{2}[\\ f(x)=\frac{x}{\sqrt[3]{1-x^3}}\text{ si }x<0\\ f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}\end{array}$$

1. Montrer que $f$ est continue sur $[0;\frac{\pi }{2}]$.
2. Calculer: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ et $\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{lim}\frac{f(x)-f\left(\frac{\pi }{2}\right)}{x-\frac{\pi }{2}}$
3. Soit $g$ la restriction de la fonction $f\mathrm{sur}[0;\frac{\pi }{2}]$. \ Montrer que $g$ réalise une bijection de $[0;\frac{\pi }{2}]$ sur un intervalle $J$ à déterminer.
4. Dresser le tableau de variations de $g^{-1}$.
5. Déterminer $g^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$.

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $$\{\begin{array}{l}f(x)=x\mathrm{Arctan}\left(\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}\right)\text{ si }x\ne 0\\ f(0)=0\end{array}$$

1. Étudier la continuité de $f$ en $0$ .
2. Étudier la parité de la fonction $f$.
3. Montrer que pour tout $x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$: $$f(x)=\frac{\pi }{2}x-\frac{x}{2}\mathrm{Arctan}x$$
4. En déduire une expression simple de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
5. On considère dans $\mathbb{R}$: l'équation suivante: $$\text{ (E) }:\mathrm{Arctan}\left(\frac{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x}}{x}\right)=\frac{5\pi }{12}$$ Montrer que : $(E)\iff f(\sqrt{x})=\frac{5\pi }{12}\sqrt{x}$
6. En déduire les solutions de l'équation $(E)$.