Devoir libre 1 - Limites et continuité - fonction arctan - racine n-iéme - fonction réciproque - TVI ...

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Limites et continuité - fonction arctan - racine n-iéme - fonction réciproque - TVI ...

Exercice 0

Soit $f$ la fonction définie par: $f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-(1+ax)}{x^2}$, Où $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

1. Déterminer $D_f$.
2. Pour quelles valeurs de $a$ la fonction $f$ admet un prolongement par continuité en $x_0=0$ ?

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\{\begin{array}{l}f(x)=2+\sqrt[3]{x^3-2x^2};x\ge 2\\ f(x)=\frac{4}{\pi }\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{2-x}}\right);x<2\end{array}$$

1. Montrer que $f$ est continue au point $x_0=2$
2. Calculer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$
3. Soit $g$ la restriction de $f$ sur $I=]-\mathrm{\infty },2[$. Montrer que $g$ est une bijection de $I$ vers $J$ à déterminer.
4. Calculer $g^{-1}(x)$, pour tout $x\in J$.

Exercice 2

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$, et $x_1,x_2,\dots ,x_{-n}$ des éléments distincts de $[a,b]$. Montrer qu'il existe un réel $c\in [a,b]$ tel que : $$f(c)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)$$

Exercice 3

Soit $f$ une fonction numérique continue sur $\mathbb{R}$ et telle que : $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=a$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=b$ et $ab<0$.

1. Montrer que : $(\mathrm{\exists }(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2)f\left(x_0\right)\cdot f\left(y_0\right)<0$
2. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$.
3. écrire ce résultat sous une forme générale.
4. Soit $P$ une fonction polynomiale de degré impair. Montrer que l'équation $P(x)=0$ admet au moins une solution réelle.
5. Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$. Montrer que : $\mathrm{\exists }c\in ]0,1[:f(c)=\frac{\arctan (c)}{c-1}+\frac{1}{c}.$
6. Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, continue et (strictement) décroissante. Montrer que l'équation $f(x)=x$ a une unique solution dans $\mathbb{R}$.

Exercice 4

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }-\{1\}$ On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^{n+1}-2x^n+1$

1. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0;\frac{2n}{n+1}]$.
2. En déduire que $f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<0$.
3. Montrer qu'il existe au moins un réel $\alpha \in ]\frac{2n}{n+1};2[$ tel que $f(\alpha )=0$.
4. Vérifier que ${\alpha }^n=\frac{1}{2-\alpha }$.

Exercice 5

Soit $f$ la fonction définie par: $f(x)=\sqrt{x-E(x)}-x$

1. Déterminer $D$, le domaine de définition de $f$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=0$.
$$ Soit $p$ un entier relatif.
3. Étudier la continuité de $f$ en $p$.
4. Étudier la continuité de $f$ sur $]p,p+1[$.
5. Montrer que: $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})-x\le f(x)\le 1-x$
6. En déduire $\underset{x\mapsto -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ et $\underset{x\mapsto +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$

Exercice 6

Soit $f_m$ la fonction définie par: $$\{\begin{array}{l}{f}_m(x)=\frac{\cos \left(\frac{2}{3}x\right)-\sqrt{3}\sin (2x-\frac{\pi }{3})}{\cos 2x}\text{ si }x>0\\ f_m(x)=x^2+mx+m+\frac{2m+1}{x+1}\text{ si }x\le 0\text{ et }x\ne -1\end{array}$$ Où $m$ est un paramètre réel.

1. Determiner le domaine de définition de $f_m$.
2. Calculer: $\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{lim}{f}_m(x)$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{f}_m(x)$.
3. Déterminer $m$ pour que $f_m$ soit continue en $0$ .
4. Déterminer $m$ pour que $f_m$ soit prolongeable par continuité en $-1$.

Pour la correction des exercices visiter ma chaine Youtube https://youtu.be/E2DuBWJmG2o?si=363k7K4qdksAwoOb

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