Exercice 1
- Soit $\alpha \in ]-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} [$, Montrer que: $$\tan(\alpha)=\frac{-1+\sqrt{1+\tan^2(2\alpha)}}{\tan (2 \alpha)}$$
- Soit $x \in \mathbb{R}^{*},$ montrer que: $$ \arctan \left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)=\frac{1}{2} \arctan(x) $$
Exercice 2
On considére la fonction $f$ definie par $$ f(x)=\frac{\sin ^2(x)}{1+\cos ^2(x)},\; \text{pour} \; x \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] \text {. } $$- Etudier les variations de $f$ sur $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
- Montrer que $f$ réalise une bijection de $\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
- Trouver $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$.
Voici la correction en vidéo de ces deux exercices:
