Fonction Arctang - Exercices corrigés

Exercice 1

1. Soit $\alpha \in ]-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}[$, Montrer que: $$\tan (\alpha )=\frac{-1+\sqrt{1+{\tan }^2(2\alpha )}}{\tan (2\alpha )}$$
2. Soit $x\in {\mathbb{R}}^{\ast },$ montrer que: $$\arctan \left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)=\frac{1}{2}\arctan (x)$$

Exercice 2

On considére la fonction $f$ definie par $$f(x)=\frac{{\sin }^2(x)}{1+{\cos }^2(x)},\text{pour}x\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\text{. }$$

1. Etudier les variations de $f$ sur $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.
2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $[-\frac{\pi }{2},0]$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
3. Trouver $f^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$.

Voici la correction en vidéo de ces deux exercices: