étude de fonctions .. un résumé de cours

Les branches infinis

Les droites asymptotiques

proposition

Soit $f$ une fonction numérique et $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe dans un repère orthonormé. on a les interprétation suivantes:

1. si $$\underset{x\mapsto \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=b/b\in \mathbb{R}$$ alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet la droite d'équation $y=b$ comme asymptote horizontale au voisinage de $\pm \mathrm{\infty }$.
2. si $$\underset{x\mapsto \pm a}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$$ alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet la droite d'équation $x=a$ comme asymptote verticale au voisinage de $a$ .
3. si $$\underset{x\mapsto \pm a}{lim}f(x)-(ax+b)=0$$ alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet la droite d'équation $y=ax+b$ comme asymptote oblique au voisinage de $\pm \mathrm{\infty }$ .

Les branche infinis

proposition

Soit $f$ une fonction numérique et $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe dans un repère orthonormé. on a les interprétation suivantes:

1. si $$\underset{x\mapsto \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }et\underset{x\mapsto \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\pm \mathrm{\infty }$$ alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ une branche parabolique orienté vers l'axe des ordonnés.
2. si $$\underset{x\mapsto \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }et\underset{x\mapsto \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=0$$ alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ une branche parabolique orienté vers l'axe des abscisses.
3. si $$\underset{x\mapsto \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }et\underset{x\mapsto \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=aet\underset{x\mapsto \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)-ax=\pm \mathrm{\infty }$$ alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ une branche parabolique orientée vers la droite d'équation $y=ax$ .

Élément de symétrie d'une fonction

axe de symétrie de symétrie d'une courbe

Soient $f$ une fonction numérique et $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe dans un repère orthonormé et $a\in \mathbb{R}$.

definition

Si la fonction $f$ vérifie: $$\{\begin{array}{ccc}\mathrm{\forall }x\in Df:x-a\in D_f& \Rightarrow & x+a\in D_f\\ \mathrm{\forall }x\in Df:f(a–x)& =& f(a+x)\end{array}$$ alors la droite d'équation $x=a$ est un axe de symétrie de la courbe représentative de $f$.

proposition

la droite d'équation $x=a$ est un axe de symétrie de la courbe représentative de $f$ si et seulement si : $$\{\begin{array}{ccc}x\in D_f& \Rightarrow & 2a-x\in D_f\\ \mathrm{\forall }x\in Df:f(2a-x)& =& f(x)\end{array}$$ voici un cas particulier: si $f$ est une fonction paire alors la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnés) est un axe de symétrie de$\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

remarque

L'ensemble d'étude d'une fonction dont la droite d'équation $x=a$ est un axe de symétrie peut être $[a;+\mathrm{\infty }[\cap D_f$ ou $]-\mathrm{\infty };a]\cap D_f$. voici une fonction admettant un axe de symétrie.

exemple d'axe de symétrie d'une fonction

centre de symétrie de symétrie d'une courbe

Soient $f$ une fonction numérique et $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe dans un repère orthonormé et $\mathrm{\Omega }(a,b)$ un point dans le plan.

definition

Si la fonction $f$ vérifie: $$\{\begin{array}{ccc}\mathrm{\forall }x\in Df:x-a\in D_f& \Rightarrow & x+a\in D_f\\ \mathrm{\forall }x\in Df:f(a–x)+f(a+x)& =& 2b\end{array}$$ alors le point $\mathrm{\Omega }$ est un centre de symétrie de la courbe représentative de $f$.

proposition

le point $\mathrm{\Omega }$ est un centre de symétrie de la courbe représentative de $f$ si et seulement si : $$\{\begin{array}{ccc}x\in D_f& \Rightarrow & 2a-x\in D_f\\ \mathrm{\forall }x\in Df:f(2a-x)& =& 2b-f(x)\end{array}$$ voici un cas particulier:$$ si $f$ est une fonction impaire alors le point $O(0,0)$ (l'origine) est un centre de symétrie pour $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

remarque

L'ensemble d'étude d'une fonction dont $\mathrm{\Omega }(a,b)$ est un point de symétrie peut être $[a;+\mathrm{\infty }[\cap D_f$ ou $]-\mathrm{\infty };a]\cap D_f$.

exemple

La courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ de la fonction $f$ définit par $f(x)=\frac{2x+6}{x+1}$ admet le point $\mathrm{\Omega }(-1;2)$ comme centre de symétrie. en effet : on a $D_f=\mathbb{R}-\{-1\}$,$$ soit donc $x\in D_f$ alors $x\ne -1$ donc $-x\ne 1$ par suite $2.(-1)-x\ne 2.(-1)+1$ $$ ceci implique que $2.(-1)-x\ne -1$ d'où $2.(-1)-x\in D_f$ $$ d'un autre part on a $f(2.(-1)-x)=f(-2-x)=\frac{2(-2-x)+6}{-2-x+1}=\frac{2-2x}{-1-x}$ $$ donc $f(2.(-1)-x)=\frac{2x-2}{1+x}$$$ et $2.2-f(x)=4-\frac{2x+6}{x+1}=\frac{4(x+1)-2x-6}{x+1}=\frac{2x-2}{x+1}$ d'où $$f(2.(-1)-x)=2.2-f(x)\mathrm{\forall }x\in D_f$$ on conclut que le point $\mathrm{\Omega }(-1;2)$ est centre de symétrie e $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

Fonction périodique 

Soient $f$ une fonction numérique et $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe dans un repère orthonormé et $T\in \mathbb{R}$.

definition

Si la fonction $f$ vérifie: $$\{\begin{array}{ccc}x\in D_f& \Rightarrow & x+T\in D_f\\ \mathrm{\forall }x\in Df:f(x+T)& =& f(x)\end{array}$$ alors la fonction $f$ est périodique de période $T$.

exemple

Les fonction $\sin$ et $\cos$ sont périodique de période $T=2\pi$

remarque

L'ensemble d'étude d'une fonction périodique de période $T$ peut être réduit à $[0;T]\cap D_f$ ou $[-T;0]\cap D_f$ ou $[T;T+1]\cap D_f$ ou généralement à l'intersection de $D_f$ et un intervalle de longueur $T$.

exemple

la fonction $f$ définit par $f(x)=sin(4x)+cos(2x)$ est périodique de période $T=\pi$. en effet on a $D_f=\mathbb{R}$ donc si $x\in D_f$ alors automatiquement $x+\pi \in D_f$$$ soit maintenant $x\in D_f$ on a $f(x+T)=f(x+\pi )=sin(4x+4\pi )+cos(2x+2\pi )$$$ alors $f(x+T)=f(x+\pi )=sin(4x)+cos(2x)=f(x)$ on conclut que $f$ est périodique de période $T=\pi$ $$ voici la courbe d'une fonction périodique de période $T=2\pi$

exemple de fonction périodique

convexité et concavité d'une courbe 

On considère $f$ une fonction numérique définit sur un intervalle $I$ et $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe dans un repère orthonormé.

definition

1. On dit que $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est convexe si elle situe au dessus de tous ces tangente.
2. On dit que $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est concave si elle situe au dessous de tous ces tangente.
3. Si $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ change de concavité en un point $A$ alors $A$ est dit un point d'inflexion pour $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

cette image illustre cette notion de convexité \includegraphics[scale=0.6]{convexite.png}

theoreme

Soit $f$ une fonction numérique définit et dérivable de fois sur un intervalle $I$, on a:

1. si $f">0$ sur $I$ alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est convexe sur $I$.
2. si $f"<0$ sur $I$ alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est concave sur $I$.
3. si $f"$ s'annule en $x=a$ en changeant de signe alors le point $A(a;f(a))$ est un point d'inflexion pour $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.