étude d'une fonction paire ... un problème corrigé

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étude d'une fonction paire

problème

on considère la fonction $f$ définit sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$$

1. montrer que la fonction $f$ est paire.
2. vérifier que $f$ est majorée par le nombre $M=1$.
3. monter que $f$ admet une valeur minimale absolue en point $x=0$.
4. étudier le sens de variation de $f$ su ${\mathbb{R}}^{+}$.
5. en déduire la variation de $f$ sur ${\mathbb{R}}^{-}$.
6. en déduire l'image de $\mathbb{R}$ par $f$.
7. calculer les limites de $f$ au bord de $D_f$.
8. tracer la courbe représentative de $f$.

correction

1. montrons que la fonction $f$ est impaire. $$ soit $x\in D_f$ alors $x\in \mathbb{R}$ donc $-x\in \mathbb{R}$ donc $-x\in D_f$ $$ d'autre part on a: $$f(-x)=\frac{(-x{)}^2}{(-x{)}^2+1}=\frac{x^2}{x^2+1}$$ car $(-x{)}^2=x^2$ $$ d'où $f$ est paire.
2. soit $x\in \mathbb{R}$, on a: $f(x)-1=\frac{x^2}{x^2+1}-1=\frac{x^2-x^2-1}{x^2+1}=\frac{-1}{x^2+1}\le 0$ donc $f$ est majorée par $1$
3. on a $f(0)=0$ de plus le dénominateur et le numérateur de $f$ sont positive donc :$$(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})f(x)\ge 0$$ d'où $f$ admet une valeur minimale en $x=0$ qui est $m=0$.
4. pour étudier la variation de $f$ on peut calculer la dérivée de $f$ mais on peut aussi suivre la stratégie suivante : $$f(x)=\frac{x^2+1-1}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}$$ soient maintenant $x$ et $y$ dans ${\mathbb{R}}^{+}$, on a: $$\begin{array}{ccl}x<y& \Rightarrow & x^2<y^2\\ \\ & \Rightarrow & x^2+1<y^2+1\\ \\ & \Rightarrow & \frac{1}{x^2+1}>\frac{1}{y^2+1}\\ \\ & \Rightarrow & -\frac{1}{x^2+1}<-\frac{1}{y^2+1}\\ \\ & \Rightarrow & 1-\frac{1}{x^2+1}<1-\frac{1}{y^2+1}\\ \\ & \Rightarrow & f(x)<f(y)\end{array}$$ on conclut que $f$ est strictement croissante sur ${\mathbb{R}}^{+}$.
5. comme $f$ est paire et est croissante sur ${\mathbb{R}}^{+}$ alors elle est décroissante sur ${\mathbb{R}}^{-}$.
6. remarquons que $$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=1$$ alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet la droite d'équation $y=1$ comme asymptote horizontale au voisinage de $\pm \mathrm{\infty }$. $$ le tableau de variation de $f$ est le suivant :  

   

   tableau de variation d'une fonction $f$
   
   

7. on remarque ( voir le tableau de variation ) que $f\left(\mathbb{R}\right)=[0;1[$
8. voilà la courbe de $f$.

   

   la courbe d'une fonction paire