Démonstration des limites trigonométriques usuelles

démonstration de limite sin x / x = 1 quand x tend vers 0 

On considère d'abord la figure ci-dessous et on fixe $x$ dans $]0,\frac{\pi }{2}[$L’aire du triangle bleu $OAB$ est ${\displaystyle A(OAB)=\frac{1\cdot \sin x}{2}=\frac{\sin x}{2}}$

L’aire de la la portion de cercle est ${\displaystyle \pi \frac{x}{2\pi }=\frac{x}{2}}$

L’aire du triangle rouge $OAC$ est ${\displaystyle A(OAC)=\frac{1\cdot \tan x}{2}=\frac{\tan x}{2}}$

Voir la figure suivante:

Démonstration des limites trigonométriques usuelles 

On a alors ${\displaystyle A(OAB)\le \frac{x}{2}\le A(OAC)}$ :

$$0<\sin x\le x\le \tan x,{\displaystyle \mathrm{\forall }x\in ]0,\frac{\pi }{2}[}$$

Puisque $0<\sin x$, on a

$$\begin{array}{rl}\frac{\sin x}{\sin x}& \le \frac{x}{\sin x}\le \frac{\tan x}{\sin x}\\ 1& \le \frac{x}{\sin x}\le \frac{1}{\cos x}\end{array}$$

En prenant à l'inverse et puisque les termes sonts tous strictement positifs on obtient

$$\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le 1$$

${\displaystyle \cos x,\frac{\sin x}{x},1}$ sont des fonctions paires, on conclut alors que :

$$\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le 1,{\displaystyle \mathrm{\forall }x\in ]-\frac{\pi }{2},0[\cup ]0,\frac{\pi }{2}[}$$

En utilisant le théorème des gendarmes on obtient:

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\cos x=\underset{x\to 0}{lim}1=1$$

on a alors :

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$