la continuité d'une fonction numérique partie 1

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La continuité d'une fonction

La continuité d'une fonction en un point

Activité 1

On considère la fonction numérique définie par : $$\{\begin{array}{c}f(x)=\frac{1}{x}+2six\ge 1\\ f(x)=2x+1six<1\end{array}$$

1. Déterminer $D_f$.
2. Poser la table de variation de $f$
3. tracer la courbe de $f$

Activité 2

On considère la fonction numérique définie par : $$\{\begin{array}{c}f(x)=\frac{1}{x}six\ge 1\\ f(x)=2x+1six<1\end{array}$$

1. Déterminer $D_f$.
2. Poser la table de variation de $f$
3. tracer la courbe de $f$

Définition

soit $f$ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $x_0$, on dit que $f$ est continue en $x_0$ si : $$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$

Exemple

soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\{\begin{array}{c}f(x)=\frac{-2x^2-x+1}{x+1}:x\ne -1\\ f(-1)=1\end{array}$$ Calculons la limite de $f$ en $x_0=-1$ et comparons la avec l'image de $x_0=-1$ par $f$,$$ on a $$\underset{x\to -1}{lim}f(x)=\underset{x\to -1}{lim}\frac{-2x^2-x+1}{x+1}$$ donc $$\underset{x\to -1}{lim}f(x)=\underset{x\to -1}{lim}\frac{(-2x+1)(x+1)}{x+1}$$ par suite $$\underset{x\to -1}{lim}f(x)=\underset{x\to -1}{lim}-2x+1$$ finalement $$\underset{x\to -1}{lim}f(x)=3$$ or $f(-1)=1$, donc $\underset{x\to -1}{lim}f(x)\ne f(-1)$ $$ donc $f$ n'est pas continue en $x_0=-1$ $$

Exemple

soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\{\begin{array}{c}g(x)=\frac{x+\tan (2x)}{\sin (3x)}:x\ne 0\\ g(0)=1\end{array}$$ Calculons la limite de $g$ en $x_0=0$ et comparons la avec l'image de $x_0=0$ par $g$, on a $$\underset{x\to 0}{lim}g(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x+\tan (2x)}{\sin (3x)}$$ donc $$\underset{x\to 0}{lim}g(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x+2x\frac{\tan (2x)}{2x}}{3x\frac{\sin (3x)}{3x}}$$ par suite $$\underset{x\to 0}{lim}g(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1+2\frac{\tan (2x)}{2x}}{3\frac{\sin (3x)}{3x}}$$ finalement $$\underset{x\to 0}{lim}g(x)=\frac{3}{3}=1$$ or $g(0)=1$ donc $\underset{x\to 0}{lim}g(x)=g(0)$ donc $g$ est continue en $x_0=0$ $$

Remarque

dans le cas de la fonction $g$ on a utiliser les limites remarquables: $$\underset{X\to 0}{lim}\frac{sin(X)}{X}=1;\underset{X\to 0}{lim}\frac{tan(X)}{X}=1$$

L'interprétation géométrique d'une fonction continue

soit $f$ une fonction numérique définie en $x_0$ , on a les cas suivants:

• si $f$ est continue en $x_0$, alors son allure est sous forme:



fonction_continue

•   si $f$ n'est pas continue en $x_0$, alors son allure est sous forme:



fonction non continue

la fonction valeur absolue est continue en $x_0=0$

$x\mapsto \sqrt{|-x^2+4|}$ est continue en $x_0=2$ et en $x_0=-2$

Remarque

Finalement : Une fonction est dite continue lorsque le tracé de sa courbe représentative se fait sans lever le crayon. $$

Exercice

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\{\begin{array}{c}f(x)=3\sqrt{x}-2x+5:x>4\\ f(x)=(x+k{)}^2:x\le 4\end{array}$$ déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit continue en $x_0=4$ $$

Exercice

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\{\begin{array}{c}f(x)=\frac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1}:x\ne 1\\ f(1)=3/4:\end{array}$$ déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit continue en $x_0=1$

La continuité à gauche et à droite

Activité 1

On considère $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\{\begin{array}{c}f(x)=\frac{1}{x^2}:x<0\\ f(x)=\frac{\sin (x)}{x}:x>0\\ f(0)=1\end{array}$$

1. calculer la limite à gauche et la limite à droite de $f$ en $x_0=0$
2. que remarquez vous ?

$$

Définition

soit $f$ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $x_0$, on dit que $f$ est continue à droite en $x_0$ si : $$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=f(x_0)$$ soit $f$ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $x_0$, on dit que $f$ est continue à gauche en $x_0$ si : $$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=f(x_0)$$ $$ soit $f$ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $x_0$, alors: $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si $f$ est continue à droite et à gauche en $x_0$. $$

Exercice

On considère $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\{\begin{array}{c}f(x)=\frac{x}{x+1}+1:x<0\\ f(x)=\frac{x^2-1}{x+3}:x>0\\ f(0)=1\end{array}$$ étudier la continuité de $f$ en $x_0=0$ $$

Correction

étudions la continuité de $f$ en $x_0=0$ On a $f(0)=\frac{0}{0+1}=0$ $$ d'un autre coté , $$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^2-1}{x+3}$$ donc $$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=\frac{-1}{3}$$ d'autre part , $$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}=\frac{x}{x+1}+1$$ donc $\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=0+1$ $$ finalement $\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=f(0)$ et $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)\ne f(0)$ alors $f$ est continue à gauche mais non à droite de $0$

Prolongement par continuité d'une fonction

Définition

soit $f$ une fonction non définit en $x_0$, mais elle admet une limite finis $l\in \mathbb{R}$, la fonction $g$ définit par: $$\{\begin{array}{c}g(x)=f(x):x\ne x_0\\ g(x_0)=l\end{array}$$ est continue en $x_0$. cette fonction est dite Prolongement par continuité de $f$. $$

Exercice

On considère $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}-\{0;1;1/2\}$ par : $$f(x)=\frac{3x^2-x-2}{x(x-1)(1-2x)}$$

1. calculer les limites de $f$ aux bord de $D_f$.
2. $f$ admet-elle un prolongement par continuité en $0$, en $1$ et $1/2$.

$$

Continuité et opérations sur les fonctions

Proposition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques continues en $x_0$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, on a :

• Les fonctions $f+g$, $f\times g$ et $\alpha f$ sont continues en $x_0$.
• Si $g(x_0)\ne 0$ alors la fonction $\frac{f}{g}$ est continue en en $x_0$.
• Les fonctions $f^n,n\in \mathbb{N}$ et $|f|$ sont continues en $x_0$.