La continuité d'une fonction
La continuité d'une fonction en un point
Activité 1
On considère la fonction numérique définie par : $$ \left\lbrace \begin{array}{ccc} f(x)=\frac{1}{x}+2 \: si \: x \geq 1 \\ f(x)=2x+1 \: si \: x < 1 \end{array} \right. $$ - Déterminer $D_f$.
- Poser la table de variation de $f$
- tracer la courbe de $f$
Activité 2
On considère la fonction numérique définie par : $$ \left\lbrace \begin{array}{ccc} f(x)=\frac{1}{x} \: si \: x \geq 1 \\ f(x)=2x+1 \: si \: x < 1 \end{array} \right. $$ - Déterminer $D_f$.
- Poser la table de variation de $f$
- tracer la courbe de $f$
Définition
soit $f $ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $ x_0 $, on dit que $f $ est continue en $ x_0 $ si : $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=f(x_0) $$
Exemple
soit $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : $$ \left\lbrace \begin{array}{ccc} f(x)=\frac{-2x^2-x+1}{x+1} \: : \: x \neq -1 \\ f(-1)=1 \qquad \end{array} \right. $$ Calculons la limite de $f $ en $ x_0 = -1 $ et comparons la avec l'image de $ x_0 = -1 $ par $f $,$\\$ on a $$ \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{-2x^2-x+1}{x+1} $$ donc $$ \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(-2x+1)(x+1)}{x+1} $$ par suite $$ \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1} -2x+1 $$ finalement $$ \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = 3 $$ or $ f(-1)=1 $, donc $ \lim_{x \rightarrow -1} f(x) \neq f(-1) $ $\\$ donc $f $ n'est pas continue en $ x_0 = -1 $ $\\$
Exemple
soit $ g $ la fonction définie sur $\mathbb{R} $ par : $$ \left\lbrace \begin{array}{ccc} g(x)=\frac{x+\tan(2x)}{\sin(3x)} \: : \: x \neq 0 \\ g(0)=1 \qquad \end{array} \right. $$ Calculons la limite de $ g $ en $ x_0 = 0 $ et comparons la avec l'image de $ x_0 = 0 $ par $ g $, on a $$ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x+\tan(2x)}{\sin(3x)} $$ donc $$ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x+2x\frac{\tan(2x)}{2x}}{ 3x \frac{\sin(3x)}{3x}}$$ par suite $$ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1+2\frac{\tan(2x)}{2x}}{ 3 \frac{\sin(3x)}{3x}} $$ finalement $$ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = \frac{3}{3}=1 $$ or $ g(0)=1 $ donc $ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = g(0) $ donc $g $ est continue en $ x_0 = 0 $ $\\$
Remarque
dans le cas de la fonction $ g $ on a utiliser les limites remarquables: $$ \lim_{X \rightarrow 0} \frac{sin(X)}{X}=1 \qquad ; \qquad \lim_{X \rightarrow 0} \frac{tan(X)}{X}=1 $$ L'interprétation géométrique d'une fonction continue
soit $ f $ une fonction numérique définie en $ x_0 $ , on a les cas suivants:- si $ f $ est continue en $ x_0 $, alors son allure est sous forme:
- si $ f $ n'est pas continue en $ x_0 $, alors son allure est sous forme:
 |
|
 |
|
 |
| la fonction valeur absolue est continue en $x_0=0$ |
 |
| $x \mapsto \sqrt{ |-x^2+4|}$ est continue en $x_0=2$ et en $x_0=-2$ |
Remarque
Finalement : Une fonction est dite continue lorsque le tracé de sa courbe représentative se fait sans lever le crayon. $\\$
Exercice
Soit $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : $$ \left\lbrace \begin{array}{ccc} f(x)=3\sqrt{x}-2x+5 \: : \: x > 4 \\ f(x)=(x+k)^2 \: : \: x \leq 4 \end{array} \right. $$ déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit continue en $x_0=4$ $\\$
Exercice
Soit $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : $$ \left\lbrace \begin{array}{ccc} f(x)=\frac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1} \: : \: x \neq 1 \\ f(1)=3/4 \: : \: \end{array} \right. $$ déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit continue en $x_0=1$ La continuité à gauche et à droite
Activité 1
On considère $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : $$ \left\lbrace \begin{array}{ccc} f(x)=\frac{1}{x^2} \: : \: x < 0 \\ f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \: : \: x > 0 \\ f(0)=1 \qquad \end{array} \right. $$ - calculer la limite à gauche et la limite à droite de $f $ en $x_0=0 $
- que remarquez vous ?
Définition
soit $f $ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $ x_0 $, on dit que $f $ est continue à droite en $ x_0 $ si : $$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x)=f(x_0) $$ soit $f $ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $ x_0 $, on dit que $f $ est continue à gauche en $ x_0 $ si : $$ \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x)=f(x_0) $$ $\\$ soit $f $ une fonction définit sur un intervalle ouvert contenant $ x_0 $, alors: $f $ est continue en $ x_0 $ si et seulement si $f $ est continue à droite et à gauche en $ x_0 $. $\\$
Exercice
On considère $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : $$ \left\lbrace \begin{array}{ccc} f(x)=\frac{x}{x+1}+1 \: : \: x < 0 \\ f(x)=\frac{x^2-1}{x+3} \: : \: x > 0 \\ f(0)=1 \qquad \end{array} \right. $$ étudier la continuité de $f $ en $x_0=0 $ $\\$
Correction
étudions la continuité de $f $ en $x_0=0 $ On a $f(0)=\frac{0}{0+1}=0 $ $\\$ d'un autre coté , $$ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)= \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{x^2-1}{x+3} $$ donc $$ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)= \frac{-1}{3} $$ d'autre part , $$ \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)= \lim_{x \rightarrow 0^-} =\frac{x}{x+1}+1 $$ donc $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)= 0+1 $ $\\$ finalement $ \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=f(0) $ et $ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) \neq f(0) $ alors $f$ est continue à gauche mais non à droite de $0$ Prolongement par continuité d'une fonction
Définition
soit $f $ une fonction non définit en $ x_0 $, mais elle admet une limite finis $ l \in \mathbb{R}$, la fonction $g$ définit par: $$ \left\lbrace \begin{array}{ccc} g(x)=f(x) \: : \: x \neq x_0 \\ g(x_0)=l \qquad \end{array} \right. $$ est continue en $x_0$. cette fonction est dite Prolongement par continuité de $f$. $\\$
Exercice
On considère $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R}-\{0;1;1/2\} $ par : $$ f(x)=\frac{3x^2-x-2}{x(x-1)(1-2x)} $$ - calculer les limites de $f $ aux bord de $D_f$.
- $f$ admet-elle un prolongement par continuité en $0$, en $1$ et $1/2$.
Continuité et opérations sur les fonctions
Proposition
Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques continues en $x_0$ et $ \alpha \in \mathbb{R} $, on a : - Les fonctions $f+g$, $f \times g $ et $\alpha f $ sont continues en $x_0$.
- Si $ g(x_0) \neq 0 $ alors la fonction $\frac{f}{g}$ est continue en en $x_0$.
- Les fonctions $ f^n , n \in \mathbb{N} $ et $\vert f \vert $ sont continues en $x_0$.
