la continuité d'une fonction numérique partie 2

Continuité d'une fonction sur un intervalle

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $ ] a;b [ $, on dit que $f$ est continue sur $ ] a;b [ $ si elle est continue en tout point de $ ] a;b [ $ . On a aussi : on dit que $f$ est continue sur $ ] a;b ] $ si elle est continue en tout point de $ ] a;b [ $ et en plus continue a gauche en $b$. on dit que $f$ est continue sur $ [a;b [ $ si elle est continue en tout point de $ ] a;b [ $ et en plus continue a droite en $a$ . on dit que $f$ est continue sur $ [a;b ] $ si elle est continue en tout point de $ ] a;b [ $ et en plus continue a gauche en $b$ et continue a droite en $a$ .

• toute fonction polynomiale est continue sur $ \mathbb{R}$.
• toute fonction fractionnelle est continue sur son domaine de définition.
• les deux fonctions $ \sin $ et $ \cos $ son continue sur $ \mathbb{R}$.
• la fonction $ \tan $ est continue sur son domaine de définition qui $ \mathbb{R}-{\pi/2+k\pi : k\in \mathbb{Z}} $ .
• la fonction racine carré $ \sqrt{.} $ est continue sur son domaine de définition qui $ \mathbb{R}^+ $ .
• la fonction valeur absolue est continue sur son domaine de définition qui $ \mathbb{R} $ .

Exemple

1. Les fonctions $f(x)= x^2+3x+\sin(5x+1) $, $g(x)= cos(3x)+\sin(5x+1) $ et $k(x)= x^4+ \vert x \vert $ sont continues sur $ \mathbb{R}$ comme somme de fonctions continues sur $ \mathbb{R}$.
2. Les fonctions $f(x)= (x^2+3x+)(\sin(5x+1) )$, $g(x)= cos(3x).\sin(5x+1) $ et $k(x)= x^4 .\vert x \vert $ sont continues sur $ \mathbb{R}$ comme produit de fonctions continues sur $ \mathbb{R}$.
3. Les fonctions $f(x)= \sqrt{x}+2x$ et $g(x)= cos(\sqrt{3x})+\sqrt{2x} $ sont continues sur $ \mathbb{R}^+$ comme somme de fonctions continues sur $ \mathbb{R}^+ $.

Exercice

Étudier la continuité de la fonction numérique $f$ définie par: $$ \left\lbrace \begin{array}{ccc} f(x)=\frac{cos(x)}{x} \: : \: x < 0 \\ f(x)=x+1 \: : \: x > 0 \\ f(0)= 1 \end{array} \right. $$

Crrection

Remarquons d'abord que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ $\\$ $\\$ la fonction $x: \mapsto x$ est continue et ne s'annule pas sur $\left] -\infty;0\right[ $ $\\$ la fonction $x: \mapsto cos(x)$ est continue sur $\left] -\infty;0\right[ $ $\\$ donc la fonction $x: \mapsto \frac{cos(x)}{x}$ est continue sur $\left] -\infty;0\right[ $ comme rapport de fonctions continues $\\$ par conséquence la fonction $f$ est continue sur $\left] -\infty;0\right[ $ .$\\$ $\\$ d'autre part la fonction $x: \mapsto x+1$ est continue sur $\left]0; +\infty\right[$ $\\$ par conséquence la fonction $f$ est continue sur $\left]0; +\infty\right[$.$\\$ $\\$ Étudions la continuité de $f$ en $x_0=0$ $\\$ on a : $$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=\lim_{x \rightarrow 0^+} x+1=1=f(0)$$ donc $f$ est continue en $0$ à droite $\\$ on a aussi : $$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{cos(x)}{x}=-\infty \neq f(0)$$ donc $f$ n'est pas continue en $0$ à gauche $\\$ on conclut que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ sauf en $0$ à gauche , c'est à dire que $f$ est continue sur $\left] -\infty;0\right[ \cup \left[ 0;+\infty \right[ $

Image d'un intervalle par une fonction continue

Exercice

On considère $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : $$ \left\lbrace \begin{array}{ccc} f(x)=1-x^2 \: : \: x \leq 1 \\ f(x)=x-1 \: : \: x < 1 \end{array} \right. $$

1. Construire la courbe de $f $.
2. En déduire les images des intervalles $ I_1=[1;3] $, $ I_2=[-3;-1] $, $ I_3=[-2;1] $, $ I_4=[2;+\infty[ $, $ I_5=]-\infty;4[ $ par $f$.

Proposition

Si $f$ est une fonction numérique continue sur $ [a;b] $, alors: $$ f([a;b])=[m;M] $$ avec : $ m=\inf_{x \in [a;b] } f(x) $ et $ M=\sup_{x \in [a;b] }f(x) $ $\\$ Cette proposition indique que l'image d'un segment $ [a;b] $ par une fonction continue est un segment dont la borne inférieur est la valeur minimale de $f$ sur $ [a;b] $ et la borne supérieur est la valeur maximale de $f$ sur $ [a;b] $ .

Proposition

Soit $f$ est une fonction numérique continue sur $ [a;b] $, alors:

• Si $f$ est croissante sur $ [a;b] $ on a $ f([a;b])=[f(a);f(b)] $
• Si $f$ est décroissante sur $ [a;b] $ on a $ f([a;b])=[f(b);f(a)] $

Theoreme

L'image d'un segment par une fonction continue est un segment $\\$ L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle

Exemple

Considérons $f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : $$ \left\lbrace \begin{array}{ccc} f(x)=-1 \: : \: x \leq 0 \\ f(x)=1 \: : \: x > 0 \end{array} \right. $$ On a $f $ n'est pas continue en $0 $, et : $ f(]-\infty;0[)={-1} $ et $ f([-1;1])={-1,1} $ Généralement, si $f $ n'est pas continue on aura pas les propositions précédentes.

Proposition

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $ I $ , On a :

image d'un intervalle par une fonction continue

$\\$ Pour fixer les idées nous traitons l'exercice d'application suivant:

Exercice

Detérminer l'image de l'intervalle $I$ par la fonction $f$ dans les cas suivants:

1. $f(x)=x^2+2x+1$ ; $I=[0;+\infty [$
2. $f(x)=\sin(x)$ ; $I=[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]$
3. $f(x)=x^2+\frac{1}{x}$ ; $I=]-\infty;0[$

Correction

1. Pour le premier cas , $f$ est une fonction polynomiale donc continue sur $\mathbb{R}$ en particulier sur $I=[0;+\infty [$ $\\$ d'un autre part on a $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en particulier sur $I=[0;+\infty [$ et On a $$f'(x)=2x+2 \,\, \forall x \in I$$ comme $x \in I$ donc $ x > 0$ alors $2x >0 $ et par suite $ 2x+2 > 0$. $\\$ d'où $f'(x) > 0 \, \forall x \in I$ , on conclut que $f$ est strictement croissante sur $I$. $\\$ d'où $ f([0;+\infty[) = [f(0);\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)[ $ or $f(0)=1$ et: $$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty} x^2+2x+1=\lim_{x \rightarrow +\infty} x^2= +\infty$$ Finalement: $$f(I)= f([0;+\infty[) = [0 ; +\infty[$$
2. Pour le second cas, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ en particulier sur $I=[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]$ $\\$ de plus $f$ est strictement décroissante sur $I=[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]$ (ceci d'après le cours du calcul trigonométrique) $\\$ alors $ f([\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]) = [f(\frac{3\pi}{2}); f(\frac{\pi}{2})] $ $\\$ or $f(\frac{3\pi}{2})=-1$ et $f(\frac{\pi}{2})=1$ $\\$ Finalement: $$f(I)=f([\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}])=[-1;1]$$
3. Pour le dernier cas, $f(x)=x^2+\frac{1}{x}$ est définie et continue sur $\mathbb{R}^*$ comme somme d'une fonction polynomiale et d'une fraction .$\\$ en particulier $f$ est continue sur $I=]-\infty;0[$ .$\\$ de plus $\forall x \in \mathbb{R}^*$ on a $f'(x)=2x-\frac{1}{x^2}$ donc $$ \forall x \in \mathbb{R}^*: \: f'(x)=\frac{2x^3-1}{x^2} $$ comme $x \in I=]-\infty;0[$ on a $x<0 donc="" puisque="" x="">0 \: \forall x \in ]-\infty;0[$, on a $f'(x) < 0 \: \forall x \in ]-\infty;0[$ $\\$ d'où $f$ est strictement décroissante sur $I=]-\infty;0[$ $\\$ alors $$ f(]-\infty;0[)= ]\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x);\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)[ $$ or $$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=\lim_{x \rightarrow 0^-} x^2+\frac{1}{x}=0+(-\infty)=-\infty$$ et $$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty} x^2+\frac{1}{x}=+\infty+0=+\infty$$ Finalement: $$f(I)=f(]-\infty;0[)=]-\infty;+\infty[=\mathbb{R}$$

Continuité de la composée de deux fonctions

Exercice

soient $f $ et $g$ les deux fonctions numérique définit par : $$ g(x)=\frac{2x-1}{x+1} \: ; \:f(x)=\sin(x) $$ soit $ h=g \circ f $

1. Déterminer le domaine de définition de $h $ ainsi que $h(x)$ pour tout $x \in D_h $.
2. étudier la continuité de $f $ en $ \pi/2 $ puis la continuité de $g $ en $f(\pi/2) $.
3. étudier la continuité de $h $ en $ \pi/2 $.

Proposition

Soient $f $ une fonction définie sur un intervalle $ I $, $g $ une fonction définie sur un intervalle $ J $ telle que $ f(I) \subset J $ et $x_0$ est un élément de $ I $. Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ est continue en $g(x_0)$ alors la composée $ g \circ f $ est continue en $x_0$.

Remarque

cette proposition reste vraie pour la continuité à droite en $x_0$ et pour la continuité à gauche en $x_0$ .

Proposition

Soient $f $ une fonction définie sur un intervalle $ I $, $g $ une fonction définie sur un intervalle $ J $ telle que $ f(I) \subset J $ .$\\$ Si $f$ est continue sur $ I $ et $g$ est continue sur $ J $ alors la composée $ g \circ f $ est continue sur $ I $.