la continuité d'une fonction numérique partie 2

Continuité d'une fonction sur un intervalle

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $]a;b[$, on dit que $f$ est continue sur $]a;b[$ si elle est continue en tout point de $]a;b[$ . On a aussi : on dit que $f$ est continue sur $]a;b]$ si elle est continue en tout point de $]a;b[$ et en plus continue a gauche en $b$. on dit que $f$ est continue sur $[a;b[$ si elle est continue en tout point de $]a;b[$ et en plus continue a droite en $a$ . on dit que $f$ est continue sur $[a;b]$ si elle est continue en tout point de $]a;b[$ et en plus continue a gauche en $b$ et continue a droite en $a$ .

• toute fonction polynomiale est continue sur $\mathbb{R}$.
• toute fonction fractionnelle est continue sur son domaine de définition.
• les deux fonctions $\sin$ et $\cos$ son continue sur $\mathbb{R}$.
• la fonction $\tan$ est continue sur son domaine de définition qui $\mathbb{R}-\pi /2+k\pi :k\in \mathbb{Z}$ .
• la fonction racine carré $\sqrt{.}$ est continue sur son domaine de définition qui ${\mathbb{R}}^{+}$ .
• la fonction valeur absolue est continue sur son domaine de définition qui $\mathbb{R}$ .

Exemple

1. Les fonctions $f(x)=x^2+3x+\sin (5x+1)$, $g(x)=cos(3x)+\sin (5x+1)$ et $k(x)=x^4+|x|$ sont continues sur $\mathbb{R}$ comme somme de fonctions continues sur $\mathbb{R}$.
2. Les fonctions $f(x)=(x^2+3x+)(\sin (5x+1))$, $g(x)=cos(3x).\sin (5x+1)$ et $k(x)=x^4.|x|$ sont continues sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions continues sur $\mathbb{R}$.
3. Les fonctions $f(x)=\sqrt{x}+2x$ et $g(x)=cos(\sqrt{3x})+\sqrt{2x}$ sont continues sur ${\mathbb{R}}^{+}$ comme somme de fonctions continues sur ${\mathbb{R}}^{+}$.

Exercice

Étudier la continuité de la fonction numérique $f$ définie par: $$\{\begin{array}{c}f(x)=\frac{cos(x)}{x}:x<0\\ f(x)=x+1:x>0\\ f(0)=1\end{array}$$

Crrection

Remarquons d'abord que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ $$ $$ la fonction $x:\mapsto x$ est continue et ne s'annule pas sur $]-\mathrm{\infty };0[$ $$ la fonction $x:\mapsto cos(x)$ est continue sur $]-\mathrm{\infty };0[$ $$ donc la fonction $x:\mapsto \frac{cos(x)}{x}$ est continue sur $]-\mathrm{\infty };0[$ comme rapport de fonctions continues $$ par conséquence la fonction $f$ est continue sur $]-\mathrm{\infty };0[$ .$$ $$ d'autre part la fonction $x:\mapsto x+1$ est continue sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ $$ par conséquence la fonction $f$ est continue sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.$$ $$ Étudions la continuité de $f$ en $x_0=0$ $$ on a : $$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}x+1=1=f(0)$$ donc $f$ est continue en $0$ à droite $$ on a aussi : $$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{cos(x)}{x}=-\mathrm{\infty }\ne f(0)$$ donc $f$ n'est pas continue en $0$ à gauche $$ on conclut que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ sauf en $0$ à gauche , c'est à dire que $f$ est continue sur $]-\mathrm{\infty };0[\cup [0;+\mathrm{\infty }[$

Image d'un intervalle par une fonction continue

Exercice

On considère $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\{\begin{array}{c}f(x)=1-x^2:x\le 1\\ f(x)=x-1:x<1\end{array}$$

1. Construire la courbe de $f$.
2. En déduire les images des intervalles $I_1=[1;3]$, $I_2=[-3;-1]$, $I_3=[-2;1]$, $I_4=[2;+\mathrm{\infty }[$, $I_5=]-\mathrm{\infty };4[$ par $f$.

Proposition

Si $f$ est une fonction numérique continue sur $[a;b]$, alors: $$f([a;b])=[m;M]$$ avec : $m=\underset{x\in [a;b]}{inf}f(x)$ et $M=\underset{x\in [a;b]}{sup}f(x)$ $$ Cette proposition indique que l'image d'un segment $[a;b]$ par une fonction continue est un segment dont la borne inférieur est la valeur minimale de $f$ sur $[a;b]$ et la borne supérieur est la valeur maximale de $f$ sur $[a;b]$ .

Proposition

Soit $f$ est une fonction numérique continue sur $[a;b]$, alors:

• Si $f$ est croissante sur $[a;b]$ on a $f([a;b])=[f(a);f(b)]$
• Si $f$ est décroissante sur $[a;b]$ on a $f([a;b])=[f(b);f(a)]$

Theoreme

L'image d'un segment par une fonction continue est un segment $$ L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle

Exemple

Considérons $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\{\begin{array}{c}f(x)=-1:x\le 0\\ f(x)=1:x>0\end{array}$$ On a $f$ n'est pas continue en $0$, et : $f(]-\mathrm{\infty };0[)=-1$ et $f([-1;1])=-1,1$ Généralement, si $f$ n'est pas continue on aura pas les propositions précédentes.

Proposition

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , On a :

image d'un intervalle par une fonction continue

$$ Pour fixer les idées nous traitons l'exercice d'application suivant:

Exercice

Detérminer l'image de l'intervalle $I$ par la fonction $f$ dans les cas suivants:

1. $f(x)=x^2+2x+1$ ; $I=[0;+\mathrm{\infty }[$
2. $f(x)=\sin (x)$ ; $I=[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$
3. $f(x)=x^2+\frac{1}{x}$ ; $I=]-\mathrm{\infty };0[$

Correction

1. Pour le premier cas , $f$ est une fonction polynomiale donc continue sur $\mathbb{R}$ en particulier sur $I=[0;+\mathrm{\infty }[$ $$ d'un autre part on a $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en particulier sur $I=[0;+\mathrm{\infty }[$ et On a $$f^{\prime }(x)=2x+2\mathrm{\forall }x\in I$$ comme $x\in I$ donc $x>0$ alors $2x>0$ et par suite $2x+2>0$. $$ d'où $f^{\prime }(x)>0\mathrm{\forall }x\in I$ , on conclut que $f$ est strictement croissante sur $I$. $$ d'où $f([0;+\mathrm{\infty }[)=[f(0);\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)[$ or $f(0)=1$ et: $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2+2x+1=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2=+\mathrm{\infty }$$ Finalement: $$f(I)=f([0;+\mathrm{\infty }[)=[0;+\mathrm{\infty }[$$
2. Pour le second cas, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ en particulier sur $I=[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$ $$ de plus $f$ est strictement décroissante sur $I=[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$ (ceci d'après le cours du calcul trigonométrique) $$ alors $f([\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}])=[f(\frac{3\pi }{2});f(\frac{\pi }{2})]$ $$ or $f(\frac{3\pi }{2})=-1$ et $f(\frac{\pi }{2})=1$ $$ Finalement: $$f(I)=f([\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}])=[-1;1]$$
3. Pour le dernier cas, $f(x)=x^2+\frac{1}{x}$ est définie et continue sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ comme somme d'une fonction polynomiale et d'une fraction .$$ en particulier $f$ est continue sur $I=]-\mathrm{\infty };0[$ .$$ de plus $\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ on a $f^{\prime }(x)=2x-\frac{1}{x^2}$ donc $$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{\ast }:f^{\prime }(x)=\frac{2x^3-1}{x^2}$$ comme $x\in I=]-\mathrm{\infty };0[$ on a $x<0donc=""puisque=""x="">0\mathrm{\forall }x\in ]-\mathrm{\infty };0[$, on a $f^{\prime }(x)<0\mathrm{\forall }x\in ]-\mathrm{\infty };0[$ $$ d'où $f$ est strictement décroissante sur $I=]-\mathrm{\infty };0[$ $$ alors $$f(]-\mathrm{\infty };0[)=]\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x);\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)[$$ or $$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}{x}^2+\frac{1}{x}=0+(-\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$$ et $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2+\frac{1}{x}=+\mathrm{\infty }+0=+\mathrm{\infty }$$ Finalement: $$f(I)=f(]-\mathrm{\infty };0[)=]-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }[=\mathbb{R}$$

Continuité de la composée de deux fonctions

Exercice

soient $f$ et $g$ les deux fonctions numérique définit par : $$g(x)=\frac{2x-1}{x+1};f(x)=\sin (x)$$ soit $h=g\circ f$

1. Déterminer le domaine de définition de $h$ ainsi que $h(x)$ pour tout $x\in D_h$.
2. étudier la continuité de $f$ en $\pi /2$ puis la continuité de $g$ en $f(\pi /2)$.
3. étudier la continuité de $h$ en $\pi /2$.

Proposition

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ telle que $f(I)\subset J$ et $x_0$ est un élément de $I$. Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ est continue en $g(x_0)$ alors la composée $g\circ f$ est continue en $x_0$.

Remarque

cette proposition reste vraie pour la continuité à droite en $x_0$ et pour la continuité à gauche en $x_0$ .

Proposition

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ telle que $f(I)\subset J$ .$$ Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $J$ alors la composée $g\circ f$ est continue sur $I$.