Le théorème des valeurs intermédiaires
theoreme
Soit $f$ est une fonction numérique continue sur $ [a;b] $, $ k $ est un nombre réel entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un élément $c \in [a;b] $ tel que : $$ f(c)=k $$
exemple
l'équation $ x^3-4x^2+1 =0 $ admet une solution dans l 'intervalle $ [0;1] $. en effet: soit $ f(x)=x^3-4x^2+1 $, la fonction $f$ est continue sur $ \mathbb{R} $ car c'est une fonction polynomiale en particulier elle est continue sur $ [0;1] $ .$\\$ d'autre part $ f(0)=1$ et $ f(1)=-2 $.$\\$ comme $0$ est entre $1$ et $-2$ l'équation admet une solution dans $ [0;1] $.
proposition
Soit $f$ est une fonction numérique continue sur $ [a;b] $, $ k $ est un nombre réel entre $f(a)$ et $f(b)$, si de plus $ f $ est strictement monotone sur $ [a;b] $ alors il existe un unique élément $c \in [a;b] $ tel que : $$ f(c)=k $$
remarque
$ f $ est strictement monotone sur $ [a;b] $ veut dire qu'elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante sur $ [a;b] $.
proposition
Soit $f$ est une fonction numérique continue sur $ [a;b] $, avec $f(a).f(b) \leq 0 $ alors il existe au moins un élément $c \in [a;b] $ tel que : $$ f(c)=0 $$
proposition
Soit $f$ est une fonction numérique continue sur $ [a;b] $, avec $f(a).f(b) \leq 0 $ , si de plus $ f $ est strictement monotone sur $ [a;b] $ alors il existe un unique élément $c \in [a;b] $ tel que : $$ f(c)=0 $$ l'hypothèse $f(a).f(b) \leq 0 $ veut dire que $ k=0 $ est entre $f(a)$ et $f(b)$,
remarque
l'hypothèse $f(a).f(b) \leq 0 $ veut dire que $ k=0 $ est entre $f(a)$ et $f(b)$, Le théorème des valeurs intermédiaires permet de monter l'existence, de localiser et d'approximer les solutions de certains equations.
exercice
Montrer que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle donné - $x^4+2x-3=0$ ; $\left[ 1/2;\sqrt{2} \right]$
- $x^3+x-3=0$ ; $\left[ 0;2 \right]$
- $sin(x)+cos(x)=1/2$ ; $\left[\pi/2;\pi \right]$
- On pose $f(x)=x^4+2x-3=0$, on a $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynomiale. en particulier $f$ est continue sur $\left[ 1/2;\sqrt{2} \right]$.$\\$ On a aussi $$ f(1/2)=(1/2)^4+2.1/2-3=1/16+1-3=1/16-2=-31/16 < 0$$ et $$f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^4+2.\sqrt{2}-3=4+2\sqrt{2}-3=1+2\sqrt{2} > 0 $$ Par le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $x^4+2x-3=0$ admet au mois une solution dans $\left[ 1/2;\sqrt{2} \right]$ .$\\$ D'un autre part on a : $$ f'(x)=4x^3+2 >0 \: \forall x \in \left[ 1/2;\sqrt{2} \right] $$ d'où $f$ est strictement croissante dur $\left[ 1/2;\sqrt{2} \right]$. $\\$ Finalement l'équation $x^4+2x-3=0$ possède une unique solution dans $\left[ 1/2;\sqrt{2} \right]$ .
- On pose $g(x)=x^3+x-3=0$, alors $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynomiale. en particulier $g$ est continue sur $\left[ 0;2 \right]$.$\\$ de plus $$ g(0)=0^3+0-3=-3 < 0 $$ et $$g(2)=2^3+2-3=8+2-3=7 >0 $$ On conclut par le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation $x^3+x-3=0$ a au mois une solution dans $\left[ 0;2 \right]$.$\\$ D'un autre part on a : $$ g'(x)= 3x^2+1 > 0 \: \forall x \in \left[ 0;2 \right]$$ d'où $g$ est strictement croissante dur $\left[ 0;2 \right]$. $\\$ Finalement l'équation $x^3+x-3=0$ a une seule solution dans $\left[ 0;2 \right]$.
- Pour le dernier cas, remarquez-vous d'abord que le second membre de l'équation n'est pas nul. On pose $k(x)=sin(x)+cos(x)-1/2$ l'équation est alors équivalente à $k(x)=0$.$\\$ on a $k$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}$ car somme de fonction continue sur $\mathbb{R}$.$\\$ en particulier $k$ est continue sur $\left[\pi/2;\pi \right]$ $\\$ on : $$k(\pi/2)=sin(\pi/2)+cos(\pi/2)-1/2=1+0-1/2=1/2 >0 $$ et $$k(\pi)=sin(\pi)+cos(\pi)-1/2=0-1-1/2=-3/2 < 0 $$ toujours d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $k(x)=0$ qui est la même que $ sin(x)+cos(x)=1/2$ possède une solution dans $\left[\pi/2;\pi \right]$.$\\$ On sait que les deux fonction $sin$ et $cos$ sont strictement décroissante sur $\left[\pi/2;\pi \right]$ , donc $k$ est strictement décroissante sur $\left[\pi/2;\pi \right]$ ( ici on a utiliser que la dérivé d'une constante est nulle) $\\$ Finalement l'équation $ sin(x)+cos(x)=1/2$ a une seule solution dans $\left[\pi/2;\pi \right]$.
