la continuité d'une fonction numérique part 3

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Le théorème des valeurs intermédiaires

theoreme

Soit $f$ est une fonction numérique continue sur $[a;b]$, $k$ est un nombre réel entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un élément $c\in [a;b]$ tel que : $$f(c)=k$$

exemple

l'équation $x^3-4x^2+1=0$ admet une solution dans l 'intervalle $[0;1]$. en effet: soit $f(x)=x^3-4x^2+1$, la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynomiale en particulier elle est continue sur $[0;1]$ .$$ d'autre part $f(0)=1$ et $f(1)=-2$.$$ comme $0$ est entre $1$ et $-2$ l'équation admet une solution dans $[0;1]$.

proposition

Soit $f$ est une fonction numérique continue sur $[a;b]$, $k$ est un nombre réel entre $f(a)$ et $f(b)$, si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$ alors il existe un unique élément $c\in [a;b]$ tel que : $$f(c)=k$$

remarque

$f$ est strictement monotone sur $[a;b]$ veut dire qu'elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante sur $[a;b]$.

proposition

Soit $f$ est une fonction numérique continue sur $[a;b]$, avec $f(a).f(b)\le 0$ alors il existe au moins un élément $c\in [a;b]$ tel que : $$f(c)=0$$

proposition

Soit $f$ est une fonction numérique continue sur $[a;b]$, avec $f(a).f(b)\le 0$ , si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$ alors il existe un unique élément $c\in [a;b]$ tel que : $$f(c)=0$$ l'hypothèse $f(a).f(b)\le 0$ veut dire que $k=0$ est entre $f(a)$ et $f(b)$,

remarque

l'hypothèse $f(a).f(b)\le 0$ veut dire que $k=0$ est entre $f(a)$ et $f(b)$, Le théorème des valeurs intermédiaires permet de monter l'existence, de localiser et d'approximer les solutions de certains equations.

exercice

Montrer que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle donné

1. $x^4+2x-3=0$ ; $[1/2;\sqrt{2}]$
2. $x^3+x-3=0$ ; $[0;2]$
3. $sin(x)+cos(x)=1/2$ ; $[\pi /2;\pi ]$

1. On pose $f(x)=x^4+2x-3=0$, on a $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynomiale. en particulier $f$ est continue sur $[1/2;\sqrt{2}]$.$$ On a aussi $$f(1/2)=(1/2{)}^4+2.1/2-3=1/16+1-3=1/16-2=-31/16<0$$ et $$f(\sqrt{2})=(\sqrt{2}{)}^4+2.\sqrt{2}-3=4+2\sqrt{2}-3=1+2\sqrt{2}>0$$ Par le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $x^4+2x-3=0$ admet au mois une solution dans $[1/2;\sqrt{2}]$ .$$ D'un autre part on a : $$f^{\prime }(x)=4x^3+2>0\mathrm{\forall }x\in [1/2;\sqrt{2}]$$ d'où $f$ est strictement croissante dur $[1/2;\sqrt{2}]$. $$ Finalement l'équation $x^4+2x-3=0$ possède une unique solution dans $[1/2;\sqrt{2}]$ .
2. On pose $g(x)=x^3+x-3=0$, alors $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynomiale. en particulier $g$ est continue sur $[0;2]$.$$ de plus $$g(0)=0^3+0-3=-3<0$$ et $$g(2)=2^3+2-3=8+2-3=7>0$$ On conclut par le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation $x^3+x-3=0$ a au mois une solution dans $[0;2]$.$$ D'un autre part on a : $$g^{\prime }(x)=3x^2+1>0\mathrm{\forall }x\in [0;2]$$ d'où $g$ est strictement croissante dur $[0;2]$. $$ Finalement l'équation $x^3+x-3=0$ a une seule solution dans $[0;2]$.
3. Pour le dernier cas, remarquez-vous d'abord que le second membre de l'équation n'est pas nul. On pose $k(x)=sin(x)+cos(x)-1/2$ l'équation est alors équivalente à $k(x)=0$.$$ on a $k$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}$ car somme de fonction continue sur $\mathbb{R}$.$$ en particulier $k$ est continue sur $[\pi /2;\pi ]$ $$ on : $$k(\pi /2)=sin(\pi /2)+cos(\pi /2)-1/2=1+0-1/2=1/2>0$$ et $$k(\pi )=sin(\pi )+cos(\pi )-1/2=0-1-1/2=-3/2<0$$ toujours d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $k(x)=0$ qui est la même que $sin(x)+cos(x)=1/2$ possède une solution dans $[\pi /2;\pi ]$.$$ On sait que les deux fonction $sin$ et $cos$ sont strictement décroissante sur $[\pi /2;\pi ]$ , donc $k$ est strictement décroissante sur $[\pi /2;\pi ]$ ( ici on a utiliser que la dérivé d'une constante est nulle) $$ Finalement l'équation $sin(x)+cos(x)=1/2$ a une seule solution dans $[\pi /2;\pi ]$.