la continuité d'une fonction numérique partie 4

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Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle

theoreme

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ alors elle admet une fonction réciproque noté $f^{-1}$ définie d'un intervalle $J=f(I)$ vers $I$. Dans ce cas on a: $f^{-1}$ est continue sur $J=f(I)$ $$ $f$ et $f^{-1}$ ont le même sens de variations $$ les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques relativement à la première bissectrice .

remarque

la première bissectrice est la droite d'équation $y=x$.

exercice

soit $f$ la fonction définie sur $I=]-\mathrm{\infty };1]$ par $f(x)=x^2-2x+3$

1. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $I=]-\mathrm{\infty };1]$.
2. En déduire que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ ( que vous déterminer ) vers $I$.
3. Déterminer $f^{-1}(y)$ pour tous $y$ dans $J$.

correction

1. $x\mapsto x^2-2x+3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ on a $(x\mapsto x^2-2x+3{)}^{\prime }=2x-2$ $$ soit $x\in I=]-\mathrm{\infty };1]$, alors $x<1$ , donc $ 2x <2 croissante="" d="" donc="" est="" f="" forall="" i="]-\infty;1]" in="" li="" o="" par="" strictement="" suite="" sur="" x-2="" x="">
2. $x\mapsto x^2-2x+3$ est continue sur $\mathbb{R}$ en particulier sur $I$ car c'est une fonction polynomiale.$$ on a donc que $f$ est continue et strictement décroissante sur $I$, don elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ vers $I$. $$ avec: $$J=f(]-\mathrm{\infty };1])=[f(1);\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)[=[2;+\mathrm{\infty }[$$
3. soient $y\in J$ et $x\in I$ avec $x$ est l'image de $y$ par $f^{-1}$ , ceci est équivalent à dire que $y$ est l'image de $x$ par $f$.$$ la procédure consiste à chercher $x\in I$ convenable pour que sont image soit $y$.$$ On a:$$ $$\begin{array}{ccl}x=f^{-1}(y)\iff f(x)=y& \iff & x^2-2x+3=y\\ & \iff & x^2-2x+1=y-2\$\$\\ \$& \iff & {(x-1)}^2=y-2\\ & \iff & x-1=\sqrt{y-2}oux-1=-\sqrt{y-2}\\ & \iff & x=1+\sqrt{y-2}oux=1-\sqrt{y-2}\end{array}$$ $$ noter que $\sqrt{y-2}$ est bien justifier car $y\in J\Rightarrow y\ge 2\Rightarrow y-2\ge 0$. $$ on a trouvé deux solutions à savoir $x_2=1+\sqrt{y-2}$ et $x_2=1-\sqrt{y-2}$.$$ pour $x_1$ on a : $y\in J\Rightarrow y\ge 2\Rightarrow y-2\ge 0\Rightarrow 1+\sqrt{y-2}\ge 1$. $$ dans ce cas $x_1$ n'appartienne pas à l'intervalle $I$ .$$ pour $x_2$ on a : $y\in J\Rightarrow y\ge 2\Rightarrow y-2\ge 0\Rightarrow -\sqrt{y-2}\le 0$ .$$ alors $$1-\sqrt{y-2}\le 1\Rightarrow x_2\in I$$ d'où $x_2$ est la seule solution qui appartienne à l'intervalle $I$ .$$ par conséquence $f^{-1}(y)=1-\sqrt{y-2}$ $\mathrm{\forall }y\in J$.$$ Finalement on peut écrire: \begin{eqnarray*} f^{-1} : [2;+\infty[ & \mapsto & ]-\infty;1]$$ y & \mapsto & 1- \sqrt{y-2}

exercice

soit $f$ la fonction définie sur $I=[0;\sqrt{2}[$ par $f(x)=\frac{x}{x^2+2}$

1. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ ( que vous déterminer ) vers $I$.
2. Déterminer $f^{-1}(z)$ pour tous $z$ dans $J$.

correction

1. La fonction $x\mapsto \frac{x}{x^2+2}$ est une fraction rationnelle définie sur $\mathbb{R}$ , elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ $$ par conséquence $f$ est continue sur $I$ comme restriction de $x\mapsto \frac{x}{x^2+2}$ à $I$.$$ d'autre part pour tout $x\in I$ on a: $$f^{\prime }(x)=\frac{x^{\prime }(x^2+2)-(x^2+2{)}^{\prime }x}{(x^2+2{)}^2}=\frac{x^2+2-2x^2}{(x^2+2{)}^2}=\frac{-x^2+2}{(x^2+2{)}^2}$$ on aussi : $$ $$\begin{array}{ccl}x\in I=[0;\sqrt{2}[& \Rightarrow & 0\le x<\sqrt{2}\\ & \Rightarrow & 0\le x^2<2\\ & \Rightarrow & -2<-x^2\le 0\\ & \Rightarrow & 0<-x^2+2\le 2\end{array}$$ $$ Comme $(x^2+2{)}^2>0$ pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)>0$ pour tout $x\in I$. $$ par conséquence $f$ est strictement croissante sur $I$ .$$ Finalement $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ vers $I$.$$ avec $$J=f(I)=f\left([0;\sqrt{2}[\right)=[f(0);\underset{x\to {\sqrt{2}}^{-}}{lim}f(x)[=[0;\frac{\sqrt{2}}{4}[$$
2. Soit $z\in J$ et $x\in I$ telles que $x=f^{-1}(z)$ alors : $$ $$\begin{array}{ccl}x=f^{-1}(z)\iff f(x)=z& \iff & \frac{x}{x^2+2}=z\\ & \iff & x^2-2x+1=y-2\\ & \iff & {(x-1)}^2=y-2\\ & \iff & x-1=\sqrt{y-2}oux-1=-\sqrt{y-2}\\ & \iff & x=1+\sqrt{y-2}oux=1-\sqrt{y-2}\end{array}$$ $$