Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
theoreme
Si $f $ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $ I $ alors elle admet une fonction réciproque noté $f^{-1} $ définie d'un intervalle $ J=f(I) $ vers $ I $. Dans ce cas on a: $f^{-1} $ est continue sur $ J=f(I) $ $\\$ $f$ et $f^{-1} $ ont le même sens de variations $\\$ les courbes de $f$ et $f^{-1} $ sont symétriques relativement à la première bissectrice .
remarque
la première bissectrice est la droite d'équation $y=x$.
exercice
soit $f $ la fonction définie sur $ I=]-\infty;1] $ par $f(x)=x^2-2x+3 $ - Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $ I=]-\infty;1] $.
- En déduire que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1} $ définie sur un intervalle $ J $ ( que vous déterminer ) vers $ I $.
- Déterminer $f^{-1}(y) $ pour tous $y$ dans $ J $.
correction
- $x \mapsto x^2-2x+3$ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et $\forall x \in \mathbb{R}$ on a $(x \mapsto x^2-2x+3)'=2x-2$ $\\$ soit $ x \in I=]-\infty;1]$, alors $x < 1$ , donc $ 2x <2 croissante="" d="" donc="" est="" f="" forall="" i="]-\infty;1]" in="" li="" o="" par="" strictement="" suite="" sur="" x-2="" x="">
- $x \mapsto x^2-2x+3 $ est continue sur $ \mathbb{R} $ en particulier sur $I$ car c'est une fonction polynomiale.$\\$ on a donc que $f$ est continue et strictement décroissante sur $I$, don elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ vers $I$. $\\$ avec: $$ J=f(]-\infty;1])=[f(1);\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)[=[2;+\infty[$$
- soient $y\in J$ et $x \in I$ avec $x$ est l'image de $y$ par $f^{-1}$ , ceci est équivalent à dire que $y$ est l'image de $x$ par $f$.$\\$ la procédure consiste à chercher $x \in I$ convenable pour que sont image soit $y$.$\\$ On a:$\\$ \begin{array}{ccl} x=f^{-1}(y)\Leftrightarrow f(x)=y & \Leftrightarrow & x^2-2x+3 =y \\ & \Leftrightarrow & x^2-2x+1=y-2$ $\\$ & \Leftrightarrow & \left( x-1 \right)^2=y-2 \\ & \Leftrightarrow & x-1 = \sqrt{y-2} ou x-1 =- \sqrt{y-2} \\ & \Leftrightarrow & x =1+ \sqrt{y-2} ou x = 1- \sqrt{y-2} \\ \end{array} $\\$ noter que $\sqrt{y-2}$ est bien justifier car $ y \in J \Rightarrow y\geq 2 \Rightarrow y-2 \geq 0$. $\\$ on a trouvé deux solutions à savoir $ x_2 =1+ \sqrt{y-2}$ et $x_2 = 1- \sqrt{y-2}$.$\\$ pour $x_1$ on a : $ y \in J \Rightarrow y\geq 2 \Rightarrow y-2 \geq 0 \Rightarrow 1+ \sqrt{y-2} \geq 1 $. $\\$ dans ce cas $x_1 $ n'appartienne pas à l'intervalle $I$ .$\\$ pour $x_2$ on a : $ y \in J \Rightarrow y\geq 2 \Rightarrow y-2 \geq 0 \Rightarrow -\sqrt{y-2} \leq 0 $ .$\\$ alors $$ 1-\sqrt{y-2} \leq 1 \Rightarrow x_2 \in I $$ d'où $x_2 $ est la seule solution qui appartienne à l'intervalle $I$ .$\\$ par conséquence $f^{-1}(y)=1- \sqrt{y-2}$ $\forall y \in J$.$\\$ Finalement on peut écrire: \begin{eqnarray*} f^{-1} : [2;+\infty[ & \mapsto & ]-\infty;1]$\\$ y & \mapsto & 1- \sqrt{y-2}
exercice
soit $f $ la fonction définie sur $I= \left[ 0;\sqrt{2} \right[$ par $f(x)=\frac{x}{x^2+2} $ - Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1} $ définie sur un intervalle $ J $ ( que vous déterminer ) vers $ I $.
- Déterminer $f^{-1}(z) $ pour tous $z$ dans $ J $.
correction
- La fonction $x \mapsto \frac{x}{x^2+2} $ est une fraction rationnelle définie sur $\mathbb{R}$ , elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ $\\$ par conséquence $f$ est continue sur $I$ comme restriction de $x \mapsto \frac{x}{x^2+2} $ à $I$.$\\$ d'autre part pour tout $x \in I$ on a: $$f'(x)=\frac{x'(x^2+2)-(x^2+2)'x}{(x^2+2)^2}=\frac{x^2+2-2x^2}{(x^2+2)^2}=\frac{-x^2+2}{(x^2+2)^2}$$ on aussi : $\\$ \begin{array}{ccl} x \in I= \left[ 0;\sqrt{2} \right[ & \Rightarrow & 0\leq x < \sqrt{2} \\ & \Rightarrow & 0\leq x^2 < 2\\ & \Rightarrow & -2 < -x^2 \leq 0 \\ & \Rightarrow & 0 < -x^2+2 \leq 2 \end{array} $\\$ Comme $(x^2+2)^2 > 0$ pour tout $ x\in I$ on a $ f'(x)>0$ pour tout $x \in I$. $\\$ par conséquence $f$ est strictement croissante sur $I$ .$\\$ Finalement $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1} $ définie sur un intervalle $ J $ vers $ I $.$\\$ avec $$J=f(I)=f\left( \left[ 0;\sqrt{2} \right[\right) = \left[ f(0);\lim_{x \rightarrow \sqrt{2}^-} f(x) \right[ = \left[ 0; \frac{\sqrt{2}}{4} \right[ $$
- Soit $z \in J$ et $x \in I$ telles que $ x=f^{-1}(z)$ alors : $\\$ \begin{array}{ccl} x=f^{-1}(z)\Leftrightarrow f(x)=z & \Leftrightarrow & \frac{x}{x^2+2} =z \\ & \Leftrightarrow & x^2-2x+1=y-2 \\ & \Leftrightarrow & \left( x-1 \right)^2=y-2 \\ & \Leftrightarrow & x-1 = \sqrt{y-2} ou x-1 =- \sqrt{y-2} \\ & \Leftrightarrow & x =1+ \sqrt{y-2} ou x = 1- \sqrt{y-2} \\ \end{array} $\\$
