étude de fonction ... un problème avec correction

énoncé du problème

on considère la fonction $f$ de variable réelle $x$ définit par : $$ f(x)=\frac{\vert x \vert}{\sqrt{\vert x \vert-1}}$$

1. déterminer $D_f$ le domaine de définition de $f$.
2. étudier la parité de $f$.
3. en déduire une réduction du domaine d'étude $D_E$.
4. calculer les limites de $f$ au bord de $D_E$.
5. étudier la dérivabilité de $f$ sur $D_E$, puis poser la table de variation de $f$ sur $D_E$.
6. étudier les branches infinis de $f$ sur $D_E$.
7. étudier la convexité de $\left( \mathcal{C}_f \right)$ sur $D_E$.
8. construire $\left( \mathcal{C}_f \right)$ dans un repère orthonormé.

Correction du problème

1. déterminons $D_f$, on a: $ \left. \begin{array}{c c l} x \in D_f & \Longleftrightarrow& x \in \mathbb{R} / \vert x \vert -1 >0 \\ & \Longleftrightarrow& x \in \mathbb{R} / \vert x \vert >1 \\ & \Longleftrightarrow& x \in \mathbb{R} / x >1 \: ou \: x \leq -1 $
2. étudions la parité de $f$$\\$ soit $x \in D_f$ alors $x>1$ ou $x<-1 si="" x="">1$ alors $-x<-1 alors="" d_f="" donc="" in="" si="" x="">1$ donc $-x \in D_f$. $\\$ d'autre part on a pour tout $x \in D_f$: $\\$ $$f(-x)=\frac{\vert -x \vert}{\sqrt{\vert -x \vert-1}}=\frac{\vert x \vert}{\sqrt{\vert x \vert-1}}$$ car $\vert -x \vert = \vert x \vert$ $\\$ par conséquence $f$ est une fonction impaire.
3. comme $f$ est paire alors la droite d'équation $x=0$ est un axe de symétrie pour $\left( \mathcal{C}_f \right)$. $\\$ donc le domaine d'étude de $f$ peut être réduit à $ \left[ 0;+\infty\right[ \cap D_f=\left] 1;+\infty\right[ $ ou à $\left] -\infty;0\right] \cap D_f=\left] -\infty;-1\right[ $ $\\$ finalement on prend $D_E=\left] 1;+\infty\right[ $ et dorénavant $f(x)=\frac{ x }{\sqrt{ x -1}}$
4. calculons les limites de $f$ au bord de $D_E$.$\\$ d'abord en $ +\infty $ $\\$ on a $$\lim_{x \to +\infty} f(x)=\lim_{x \to +\infty}\frac{ x }{\sqrt{ x -1}} $$ par suite $$\lim_{x \to +\infty} f(x)=\lim_{x \to +\infty}\sqrt{\frac{ x^2 }{ x -1}} =+\infty$$ car $$\lim_{x \to +\infty}\frac{ x^2 }{ x -1}=\lim_{x \to +\infty}\frac{ x^2 }{ x }=\lim_{x \to +\infty} x =+\infty$$ maintenant en $ 1^+ $ $\\$ on a $$\lim_{x \to 1^+} f(x)=\lim_{x \to 1^+}\frac{ x }{\sqrt{ x -1}} $$ c'est une forme de type $\left( " \frac{1}{0^+} "\right) $ par suite $$\lim_{x \to 1^+} f(x)=+\infty$$
5. on a $f(x)=\frac{ x }{\sqrt{ x -1}}$ , avec $x \mapsto x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en particulier sur $D_E$ , la fonction $x\mapsto \sqrt{x-1}$ est aussi dérivable sur $D_E$ comme composée de fonctions continue. de plus on a : $$f'(x)=\left( \frac{ x }{\sqrt{ x -1}}\right)' $$ $$f'(x)= \frac{ x'\sqrt{x-1}-x(\sqrt{x-1})'}{\sqrt{( x -1)^2}}$$ $$f'(x)= \frac{ \sqrt{x-1}-x\frac{1}{2\sqrt{x-1}} }{\sqrt{( x -1)^2}}$$ $$f'(x)= \frac{ \frac{2\sqrt{x-1}^2-x}{2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{( x -1)^2}}$$ $$f'(x)= \frac{ 2(x-1)-x}{2\sqrt{( x -1)^3}}$$ $$f'(x)= \frac{ x-2}{2\sqrt{( x -1)^3}}$$ il est claire que le signe de $f'(x)$ est exactement celui de $x-2$ $\\$ on aura donc la table de variation suivante:

exemple de tableau de variation

1. pour les branches infinis , on a d'après ce qui précède que $\lim_{x \to 1^+} f(x)=+\infty$, donc $\left( \mathcal{C}_f \right)$ admet la droite d'équation $x=1$ comme une asymptote verticale. $\\$ on a aussi $\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty$ $\\$ de plus $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x\sqrt{x-1}}$$ donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x-1}}=0$$ finalement $\left( \mathcal{C}_f \right)$ admet une branche parabolique orienté vers l"axe des abscisses au voisinage de $+\infty$.
2. pour étudier la convexité on va d'abord calculer $f"(x)$, après quelque ligne de calcul on aura: $$f"(x)=\frac{1}{4}\frac{-x+4}{\sqrt{x-1}^5}$$ on remarque que le signe de $f"(x)$ est exactement celui de $-x+4$, cette dernière expression est nulle en $x=4$ et est sur $\left]1;4 \right] $ et est négative sur $\left[ 4;+\infty\right[ $. le tableau suivant résume la situation .

   

   exemple de tableau de convexité

    remarquons aussi que le point $A(4,\frac{4}{\sqrt{3}})$ est un point d'inflexion pour $\left( \mathcal{C}_f \right)$.
3. la courbe de $f$ sur $D_E$.

   

   a courbe sur le domaine d'étude

4. pour tracer la courbe de $f$ sur $D_f$ tout entière on trace seulement la symétrique de celles sur $D_E$ par rapport à l'axe $x=0$.

   

   la courbe de la fonction $f$