énoncé du problème
on considère la fonction de variable réelle définit par :
- déterminer le domaine de définition de .
- étudier la parité de .
- en déduire une réduction du domaine d'étude .
- calculer les limites de au bord de .
- étudier la dérivabilité de sur , puis poser la table de variation de sur .
- étudier les branches infinis de sur .
- étudier la convexité de sur .
- construire dans un repère orthonormé.
Correction du problème
- déterminons , on a:
- étudions la parité de soit alors ou alors donc . d'autre part on a pour tout : car par conséquence est une fonction impaire.
- comme est paire alors la droite d'équation est un axe de symétrie pour . donc le domaine d'étude de peut être réduit à ou à finalement on prend et dorénavant
- calculons les limites de au bord de . d'abord en on a par suite car maintenant en on a c'est une forme de type par suite
- on a , avec est dérivable sur en particulier sur , la fonction est aussi dérivable sur comme composée de fonctions continue. de plus on a : il est claire que le signe de est exactement celui de on aura donc la table de variation suivante:
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exemple de tableau de variation |
- pour les branches infinis , on a d'après ce qui précède que , donc admet la droite d'équation comme une asymptote verticale. on a aussi de plus donc finalement admet une branche parabolique orienté vers l"axe des abscisses au voisinage de .
- pour étudier la convexité on va d'abord calculer , après quelque ligne de calcul on aura: on remarque que le signe de est exactement celui de , cette dernière expression est nulle en et est sur et est négative sur . le tableau suivant résume la situation .
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exemple de tableau de convexité |
remarquons aussi que le point est un point d'inflexion pour .
- la courbe de sur .
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a courbe sur le domaine d'étude |
- pour tracer la courbe de sur tout entière on trace seulement la symétrique de celles sur par rapport à l'axe .
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la courbe de la fonction |