étude de fonction ... un problème avec correction

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énoncé du problème

on considère la fonction $f$ de variable réelle $x$ définit par : $$f(x)=\frac{|x|}{\sqrt{|x|-1}}$$

1. déterminer $D_f$ le domaine de définition de $f$.
2. étudier la parité de $f$.
3. en déduire une réduction du domaine d'étude $D_E$.
4. calculer les limites de $f$ au bord de $D_E$.
5. étudier la dérivabilité de $f$ sur $D_E$, puis poser la table de variation de $f$ sur $D_E$.
6. étudier les branches infinis de $f$ sur $D_E$.
7. étudier la convexité de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sur $D_E$.
8. construire $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ dans un repère orthonormé.

Correction du problème

1. déterminons $D_f$, on a: $\text{Missing end{array}}$
2. étudions la parité de $f$$$ soit $x\in D_f$ alors $x>1$ ou $x<-1si=""x="">1$ alors $-x<-1alors=""d_f=""donc=""in=""si=""x="">1$ donc $-x\in D_f$. $$ d'autre part on a pour tout $x\in D_f$: $$ $$f(-x)=\frac{|-x|}{\sqrt{|-x|-1}}=\frac{|x|}{\sqrt{|x|-1}}$$ car $|-x|=|x|$ $$ par conséquence $f$ est une fonction impaire.
3. comme $f$ est paire alors la droite d'équation $x=0$ est un axe de symétrie pour $\left({\mathcal{C}}_f\right)$. $$ donc le domaine d'étude de $f$ peut être réduit à $[0;+\mathrm{\infty }[\cap D_f=]1;+\mathrm{\infty }[$ ou à $]-\mathrm{\infty };0]\cap D_f=]-\mathrm{\infty };-1[$ $$ finalement on prend $D_E=]1;+\mathrm{\infty }[$ et dorénavant $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-1}}$
4. calculons les limites de $f$ au bord de $D_E$.$$ d'abord en $+\mathrm{\infty }$ $$ on a $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x-1}}$$ par suite $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{\frac{x^2}{x-1}}=+\mathrm{\infty }$$ car $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{x-1}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x=+\mathrm{\infty }$$ maintenant en $1^{+}$ $$ on a $$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x}{\sqrt{x-1}}$$ c'est une forme de type $\left("\frac{1}{0^{+}}"\right)$ par suite $$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$$
5. on a $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-1}}$ , avec $x\mapsto x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en particulier sur $D_E$ , la fonction $x\mapsto \sqrt{x-1}$ est aussi dérivable sur $D_E$ comme composée de fonctions continue. de plus on a : $$f^{\prime }(x)={\left(\frac{x}{\sqrt{x-1}}\right)}^{\prime }$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{x^{\prime }\sqrt{x-1}-x(\sqrt{x-1}{)}^{\prime }}{\sqrt{(x-1{)}^2}}$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x-1}-x\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{(x-1{)}^2}}$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{2{\sqrt{x-1}}^2-x}{2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{(x-1{)}^2}}$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)-x}{2\sqrt{(x-1{)}^3}}$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{2\sqrt{(x-1{)}^3}}$$ il est claire que le signe de $f^{\prime }(x)$ est exactement celui de $x-2$ $$ on aura donc la table de variation suivante:

exemple de tableau de variation

1. pour les branches infinis , on a d'après ce qui précède que $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$, donc $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet la droite d'équation $x=1$ comme une asymptote verticale. $$ on a aussi $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$ $$ de plus $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x\sqrt{x-1}}$$ donc $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{x-1}}=0$$ finalement $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet une branche parabolique orienté vers l"axe des abscisses au voisinage de $+\mathrm{\infty }$.
2. pour étudier la convexité on va d'abord calculer $f"(x)$, après quelque ligne de calcul on aura: $$f"(x)=\frac{1}{4}\frac{-x+4}{{\sqrt{x-1}}^5}$$ on remarque que le signe de $f"(x)$ est exactement celui de $-x+4$, cette dernière expression est nulle en $x=4$ et est sur $]1;4]$ et est négative sur $[4;+\mathrm{\infty }[$. le tableau suivant résume la situation .

   

   exemple de tableau de convexité

    remarquons aussi que le point $A(4,\frac{4}{\sqrt{3}})$ est un point d'inflexion pour $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.
3. la courbe de $f$ sur $D_E$.

   

   a courbe sur le domaine d'étude

4. pour tracer la courbe de $f$ sur $D_f$ tout entière on trace seulement la symétrique de celles sur $D_E$ par rapport à l'axe $x=0$.

   

   la courbe de la fonction $f$